Probabilidad de créditos bancarios

Para resolver este problema, lo primero es definir los sucesos y traducir los porcentajes a probabilidades decimales: - $H$: El crédito es hipotecario. - $S$: El crédito supera los 200 000€. Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(H) = 0,70$ (el 70% son hipotecarios). - $P(S) = 0,25$ (el 25% superan los 200 000€). - $P(H \cap S) = 0,20$ (el 20% son hipotecarios y superan los 200 000€). También conocemos sus complementarios: - $P(\bar{H}) = 1 - 0,70 = 0,30$ - $P(\bar{S}) = 1 - 0,25 = 0,75$ 💡 **Tip:** En problemas donde se cruzan dos características (hipotecario/no hipotecario y supera/no supera cantidad), lo más sencillo es organizar los datos en una **tabla de contingencia**.

Completamos la tabla con los datos que tenemos y calculamos los huecos por diferencia (sabiendo que las sumas de filas y columnas deben coincidir): $$\begin{array}{c|cc|c} & S & \bar{S} & \text{Total} \\\hline H & 0,20 & 0,50 & 0,70 \\ \bar{H} & 0,05 & 0,25 & 0,30 \\\hline \text{Total} & 0,25 & 0,75 & 1,00 \end{array}$$ - $P(H \cap \bar{S}) = P(H) - P(H \cap S) = 0,70 - 0,20 = 0,50$ - $P(\bar{H} \cap S) = P(S) - P(H \cap S) = 0,25 - 0,20 = 0,05$ - $P(\bar{H} \cap \bar{S}) = P(\bar{H}) - P(\bar{H} \cap S) = 0,30 - 0,05 = 0,25$

**a) (1 punto) El crédito no sea hipotecario y no supere los 200 000€.** Nos piden la probabilidad de la intersección de los dos sucesos negados: $P(\bar{H} \cap \bar{S})$. Si miramos directamente en nuestra tabla de contingencia, el valor correspondiente a la fila de $\bar{H}$ y la columna de $\bar{S}$ es: $$P(\bar{H} \cap \bar{S}) = 0,25$$ Alternativamente, podríamos haber usado las **Leyes de De Morgan**: $P(\bar{H} \cap \bar{S}) = P(\overline{H \cup S}) = 1 - P(H \cup S)$ Calculamos la unión: $P(H \cup S) = P(H) + P(S) - P(H \cap S) = 0,70 + 0,25 - 0,20 = 0,75$ Entonces: $P(\bar{H} \cap \bar{S}) = 1 - 0,75 = 0,25$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{H} \cap \bar{S}) = 0,25}$$

**b) (0.75 puntos) Si su crédito no es hipotecario, este no supere los 200 000€.** Se trata de una probabilidad condicionada. El enunciado dice "Si su crédito no es hipotecario...", lo que indica que la condición es $\bar{H}$. Buscamos $P(\bar{S} | \bar{H})$. Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\bar{S} | \bar{H}) = \frac{P(\bar{S} \cap \bar{H})}{P(\bar{H})}$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(\bar{S} | \bar{H}) = \frac{0,25}{0,30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \approx 0,8333$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Siempre dividimos por la probabilidad de lo que ya sabemos que ha ocurrido (la condición). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{S} | \bar{H}) = \frac{5}{6} \approx 0,8333}$$

**c) (0.75 puntos) Si su crédito supera los 200 000€, que este no sea hipotecario.** En este caso, la condición es que el crédito supera los 200 000€ ($S$). Buscamos $P(\bar{H} | S)$. Aplicamos de nuevo la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\bar{H} | S) = \frac{P(\bar{H} \cap S)}{P(S)}$$ Consultamos los valores en nuestra tabla: - $P(\bar{H} \cap S) = 0,05$ - $P(S) = 0,25$ Operamos: $$P(\bar{H} | S) = \frac{0,05}{0,25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{H} | S) = 0,2}$$