Probabilidad de sucesos: videojuegos y lectura

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema a partir de la información del enunciado: - $V$: "El estudiante juega con videojuegos". - $L$: "El estudiante lee libros". Los datos que nos proporciona el ejercicio expresados en términos de probabilidad son: - $P(V) = 0.65$ (el 65% juega con videojuegos). - $P(L) = 0.45$ (el 45% lee libros). - $P(V^c \cap L^c) = 0.15$ (el 15% no hace ninguna de las dos cosas, es decir, el suceso contrario a jugar o leer). 💡 **Tip:** Recuerda que el suceso "no hacer ninguna de las dos cosas" se representa matemáticamente como la intersección de los contrarios: $\bar{V} \cap \bar{L}$ o $V^c \cap L^c$.

Para facilitar los cálculos, vamos a construir una **tabla de contingencia** completando los huecos. Sabemos que los totales deben sumar 1 (o 100%). 1. Como $P(V) = 0.65$, entonces $P(V^c) = 1 - 0.65 = 0.35$. 2. Como $P(L) = 0.45$, entonces $P(L^c) = 1 - 0.45 = 0.55$. 3. Nos dan $P(V^c \cap L^c) = 0.15$. 4. Calculamos $P(V^c \cap L) = P(V^c) - P(V^c \cap L^c) = 0.35 - 0.15 = 0.20$. 5. Calculamos $P(V \cap L) = P(L) - P(V^c \cap L) = 0.45 - 0.20 = 0.25$. 6. Calculamos $P(V \cap L^c) = P(V) - P(V \cap L) = 0.65 - 0.25 = 0.40$. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & L & L^c & \text{Total} \\ \hline V & 0.25 & 0.40 & 0.65 \\ \hline V^c & 0.20 & 0.15 & 0.35 \\ \hline \text{Total} & 0.45 & 0.55 & 1.00 \\ \hline \end{array} $$ 💡 **Tip:** En los ejercicios de probabilidad con dos sucesos y sus contrarios, la tabla de contingencia suele ser el método más rápido para visualizar todas las probabilidades de las intersecciones.

**a) (1 punto) Juegue con videojuegos o lea libros.** Nos piden calcular la probabilidad de la unión de los dos sucesos, es decir, $P(V \cup L)$. Podemos obtenerlo de dos formas. La más directa es usar el suceso contrario a "no hacer ninguna de las dos cosas": $$P(V \cup L) = 1 - P(V^c \cap L^c)$$ $$P(V \cup L) = 1 - 0.15 = 0.85$$ También podríamos usar la fórmula general de la unión: $$P(V \cup L) = P(V) + P(L) - P(V \cap L) = 0.65 + 0.45 - 0.25 = 0.85$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V \cup L) = 0.85}$$ 💡 **Tip:** La frase "o" en probabilidad suele indicar la unión ($A \cup B$), mientras que la frase "y" indica la intersección ($A \cap B$).

**b) (0.75 puntos) Juegue con videojuegos y no lea libros.** Buscamos la probabilidad del suceso $V \cap L^c$ (juega con videojuegos pero no lee libros). Consultando nuestra tabla de contingencia realizada en el paso 2, este valor ya lo hemos calculado: $$P(V \cap L^c) = 0.40$$ Si quisiéramos justificarlo con fórmulas: $$P(V \cap L^c) = P(V) - P(V \cap L) = 0.65 - 0.25 = 0.40$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V \cap L^c) = 0.40}$$

**c) (0.75 puntos) Lea libros sabiendo que no juega con videojuegos.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos calcular $P(L | V^c)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(L | V^c) = \frac{P(L \cap V^c)}{P(V^c)}$$ De los datos de nuestra tabla: - $P(L \cap V^c) = 0.20$ - $P(V^c) = 0.35$ Sustituimos: $$P(L | V^c) = \frac{0.20}{0.35}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $0.05$: $$P(L | V^c) = \frac{4}{7} \approx 0.5714$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de la probabilidad condicionada: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El suceso que va después de la barra vertical es el que ya sabemos que ha ocurrido (la condición). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L | V^c) = \frac{4}{7} \approx 0.5714}$$