Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Realizando la estimación con un nivel de confianza del $92\%$, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas?** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 15\text{ MPa}$. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 800\text{ MPa}$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $92\%$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - 0.92 = 0.08$. 2. Dividimos entre dos: $\alpha/2 = 0.04$. 3. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$. Mirando en la tabla de la distribución normal $N(0,1)$, el valor más cercano a $0.96$ es $0.9599$, que corresponde a: $$z_{\alpha/2} = 1.75$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja a su derecha un área de $\alpha/2$. En este caso, buscamos en la tabla el valor cuya probabilidad acumulada sea $0.96$.

El error máximo de estimación $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1.75 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}}$$ $$E = 1.75 \cdot \frac{15}{10}$$ $$E = 1.75 \cdot 1.5 = 2.625\text{ MPa}$$ El error cometido en la estimación es de **$2.625\text{ MPa}$**.

El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ viene dado por: $$I = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$$ Calculamos los extremos: - Extremo inferior: $800 - 2.625 = 797.375$ - Extremo superior: $800 + 2.625 = 802.625$ Por tanto, la resistencia media poblacional se estima que está entre $797.375$ y $802.625\text{ MPa}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = (797.375, 802.625)}$$

**b) (1.25 puntos) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que $2\text{MPa}$?** En este apartado queremos que el error $E$ sea menor que $2$. Los datos que mantenemos son: - Valor crítico (confianza $92\%$): $z_{\alpha/2} = 1.75$. - Desviación típica: $\sigma = 15$. - Condición: $E \lt 2$. La fórmula del error es: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 2$$ Sustituimos los datos: $$1.75 \cdot \frac{15}{\sqrt{n}} \lt 2$$ 💡 **Tip:** Para hallar el tamaño muestral mínimo, siempre debemos despejar $n$ de la fórmula del error y, si el resultado no es entero, redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor que el solicitado.

Despejamos $n$ de la inecuación anterior: $$\frac{26.25}{\sqrt{n}} \lt 2$$ $$\frac{26.25}{2} \lt \sqrt{n}$$ $$13.125 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$n \gt (13.125)^2$$ $$n \gt 172.2656$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero y debe ser estrictamente mayor que $172.2656$ para que el error sea menor que $2$, tomamos el siguiente número entero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 173 \text{ herramientas}}$$