Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 400$ - Perros vacunados: $320$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): Es el número de éxitos entre el total. $$\hat{p} = \frac{320}{400} = 0.8$$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): Es la probabilidad de no estar vacunado. $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.8 = 0.2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en problemas de proporciones, siempre se cumple que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $92\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.92$ 2. $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$ 3. $\alpha/2 = 0.04$ 4. Buscamos el valor en la tabla de la Normal $N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0.04 = 0.96$. Buscando en la tabla de la distribución Normal, el valor más cercano a $0.9600$ es para: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 1.75}$$ 💡 **Tip:** El nivel de confianza indica el área central de la campana de Gauss. El valor crítico separa esa área central del resto (las colas).

El error máximo cometido ($E$) se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{400}} = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.16}{400}} = 1.75 \cdot \sqrt{0.0004}$$ $$E = 1.75 \cdot 0.02 = 0.035$$ Ahora calculamos el intervalo de confianza $I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$I.C. = (0.8 - 0.035, \; 0.8 + 0.035)$$ $$I.C. = (0.765, \; 0.835)$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{Error máximo: } 0.035 \quad \text{Intervalo: } (0.765, \; 0.835)}$$

**b) (1 punto) En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que 0.02?** Datos para este apartado: - Nivel de confianza: $92\% \implies z_{\alpha/2} = 1.75$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.8$ y $\hat{q} = 0.2$ - Error máximo permitido: $E \lt 0.02$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. Queremos despejar $n$ de la inecuación: $$z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \lt 0.02$$ 💡 **Tip:** Al despejar $n$, si el resultado es decimal, siempre debemos redondear al siguiente número entero superior para garantizar que el error sea estrictamente menor.

Sustituimos y despejamos $n$: $$1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{n}} \lt 0.02$$ $$\sqrt{\frac{0.16}{n}} \lt \frac{0.02}{1.75}$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$\frac{0.16}{n} \lt \left( \frac{0.02}{1.75} \right)^2$$ $$\frac{0.16}{n} \lt 0.000130612$$ $$n \gt \frac{0.16}{0.000130612}$$ $$n \gt 1225$$ Para que el error sea **menor** que $0.02$, necesitamos que $n$ sea mayor que $1225$. Por tanto, el número mínimo de perros es $1226$. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{n = 1226 \text{ perros}}$$