Estudio de matriz: Invertibilidad, potencias y ecuaciones matriciales

**a) (0.75 puntos) Los valores de $a$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Procedemos a calcular el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -a-1 \\ -1 & a & a+1 \\ 1 & -3 & -a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot a \cdot (-a)] + [(-3) \cdot (a+1) \cdot 1] + [(-a-1) \cdot (-1) \cdot (-3)] -$$ $$-[1 \cdot a \cdot (-a-1) + (-3) \cdot (-1) \cdot (-a) + 2 \cdot (-3) \cdot (a+1)]$$ Calculamos cada término: - Diagonales principales: $-2a^2 - 3a - 3 - 3a - 3 = -2a^2 - 6a - 6$ - Diagonales secundarias: $-a^2 - a - 3a + 6a + 6 = -a^2 + 2a + 6$ $$|A| = (-2a^2 - 6a - 6) - (-a^2 + 2a + 6)$$ $$|A| = -2a^2 - 6a - 6 + a^2 - 2a - 6 = -a^2 + 4a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el rango de la matriz debe ser máximo, lo que equivale a que el determinante sea no nulo.

Para hallar cuándo no tiene inversa, igualamos el determinante a cero: $$-a^2 + 4a = 0 \implies a(-a + 4) = 0$$ Las soluciones de esta ecuación son: $$a = 0 \quad \text{y} \quad a = 4$$ Por lo tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para todos los valores de $a$ que no sean ni $0$ ni $4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ tiene inversa si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}}$$

**b) (0.75 puntos) Las matrices $A^2, A^3$ y $A^{2022}$ para $a = 4$.** Sustituimos $a = 4$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$$ Calculamos $A^2$ multiplicando $A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}$$ Operaciones fila por columna: - $c_{11} = 2(2) + (-3)(-1) + (-5)(1) = 4 + 3 - 5 = 2$ - $c_{12} = 2(-3) + (-3)(4) + (-5)(-3) = -6 - 12 + 15 = -3$ - $c_{13} = 2(-5) + (-3)(5) + (-5)(-4) = -10 - 15 + 20 = -5$ - $c_{21} = -1(2) + 4(-1) + 5(1) = -2 - 4 + 5 = -1$ - $c_{22} = -1(-3) + 4(4) + 5(-3) = 3 + 16 - 15 = 4$ - $c_{23} = -1(-5) + 4(5) + 5(-4) = 5 + 20 - 20 = 5$ - $c_{31} = 1(2) + (-3)(-1) + (-4)(1) = 2 + 3 - 4 = 1$ - $c_{32} = 1(-3) + (-3)(4) + (-4)(-3) = -3 - 12 + 12 = -3$ - $c_{33} = 1(-5) + (-3)(5) + (-4)(-4) = -5 - 15 + 16 = -4$ Observamos que **$A^2 = A$**. Se dice que $A$ es una matriz idempotente. ✅ **Resultado ($A^2$):** $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}}$$

Como $A^2 = A$, calculamos las siguientes potencias: $$A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$$ $$A^4 = A^3 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$$ Por inducción, cualquier potencia natural $n \ge 1$ de la matriz $A$ será igual a la propia matriz $A$: $$A^n = A$$ Por tanto, para $n = 2022$: $$A^{2022} = A$$ ✅ **Resultado ($A^3$ y $A^{2022}$):** $$\boxed{A^3 = A^{2022} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) La matriz $X$ que verifica que $X \cdot A = I_3$ para $a = 3$.** La ecuación $X \cdot A = I$ nos indica que $X$ debe ser la matriz inversa de $A$, es decir, $X = A^{-1}$. Para $a = 3$, comprobamos primero que existe inversa: $$|A| = -(3)^2 + 4(3) = -9 + 12 = 3 \neq 0$$ La matriz para $a = 3$ es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para despejar $X$ en $X \cdot A = I$, multiplicamos por $A^{-1}$ a la derecha en ambos miembros: $X \cdot A \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1} \implies X = A^{-1}$.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^t$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos (cofactores): - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -9 + 12 = 3$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(3 - 4) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 3 - 3 = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -(9 - 12) = 3$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -6 + 4 = -2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-6 + 3) = 3$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -12 + 12 = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -(8 - 4) = -4$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3 = 3$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 3 \end{pmatrix} \implies [\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos $X = A^{-1}$: $$X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1/3 & -2/3 & -4/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$