Optimización de beneficios en sastrería

**Determine el número de trajes y vestidos que se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio, así como dicho beneficio máximo.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de trajes a confeccionar. - $y$: número de vestidos a confeccionar. A partir del enunciado, identificamos las restricciones de material disponible (lino y algodón) y las condiciones lógicas de no negatividad: 1. **Tela de lino:** Se usa $1 \text{ m}^2$ por traje y $2 \text{ m}^2$ por vestido, con un máximo de $70 \text{ m}^2$. $$x + 2y \le 70$$ 2. **Tela de algodón:** Se usan $3 \text{ m}^2$ por traje y $2 \text{ m}^2$ por vestido, con un máximo de $150 \text{ m}^2$. $$3x + 2y \le 150$$ 3. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre es fundamental definir claramente qué representan $x$ e $y$ y escribir las desigualdades basándose en los topes máximos (recursos disponibles).

El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, se ganan 60 € por traje y 70 € por vestido. La función objetivo a maximizar es: $$B(x, y) = 60x + 70y$$ 💡 **Tip:** La función objetivo es la expresión que queremos hacer lo más grande (maximizar beneficios/ingresos) o lo más pequeña (minimizar costes) posible.

Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a las restricciones y determinamos el semiplano válido. - **Recta $r_1$ (Lino):** $x + 2y = 70$ - Si $x = 0 \implies y = 35 \implies (0, 35)$ - Si $y = 0 \implies x = 70 \implies (70, 0)$ - **Recta $r_2$ (Algodón):** $3x + 2y = 150$ - Si $x = 0 \implies y = 75 \implies (0, 75)$ - Si $y = 0 \implies x = 50 \implies (50, 0)$ La región factible es el polígono delimitado por estas rectas en el primer cuadrante ($x \ge 0, y \ge 0$).

Los vértices de la región factible son: - $O(0, 0)$: Origen. - $A(0, 35)$: Intersección de $r_1$ con el eje $Y$. - $B$: Intersección de $r_1$ y $r_2$. - $C(50, 0)$: Intersección de $r_2$ con el eje $X$. Calculamos el punto $B$ resolviendo el sistema: $$\begin{cases} x + 2y = 70 \\ 3x + 2y = 150 \end{cases}$$ Restando la primera ecuación a la segunda para eliminar $y$: $$(3x + 2y) - (x + 2y) = 150 - 70$$ $$2x = 80 \implies x = 40$$ Sustituimos $x = 40$ en $r_1$: $$40 + 2y = 70 \implies 2y = 30 \implies y = 15$$ El vértice de intersección es **$B(40, 15)$**. 💡 **Tip:** El método de reducción es muy útil aquí porque el coeficiente de $y$ es el mismo en ambas ecuaciones.

Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 60x + 70y$ en cada vértice para encontrar el máximo: - $B(0, 0) = 60(0) + 70(0) = 0 \text{ €}$ - $B(0, 35) = 60(0) + 70(35) = 2450 \text{ €}$ - $B(50, 0) = 60(50) + 70(0) = 3000 \text{ €}$ - $B(40, 15) = 60(40) + 70(15) = 2400 + 1050 = 3450 \text{ €}$ El beneficio máximo es de $3450 \text{ €}$, que se obtiene confeccionando 40 trajes y 15 vestidos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben confeccionar 40 trajes y 15 vestidos para un beneficio máximo de 3450 euros}}$$