Continuidad, derivabilidad y cálculo de áreas

**a) (1.25 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable.** Para que la función sea continua en su dominio, el único punto conflictivo es $x=1$, donde se produce el salto entre ramas. Las funciones de cada rama son polinómicas, por lo que ya son continuas en sus respectivos intervalos. Para que sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. $f(1) = a(1+1)^2 = 4a$ 2. $\lim_{x \to 1^-} a(x+1)^2 = 4a$ 3. $\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{bx^2}{2} + 2\right) = \frac{b}{2} + 2$ Igualamos los resultados para asegurar la continuidad: $$4a = \frac{b}{2} + 2$$ Multiplicamos toda la ecuación por $2$ para simplificar: $$8a = b + 4 \implies b = 8a - 4 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función es continua en $x=c$ si $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$.

Una vez impuesta la condición de continuidad, estudiamos la derivabilidad. Primero calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x)=\begin{cases} 2a(x+1) & \text{si } -3 < x < 1,\\ bx & \text{si } 1 < x < 2. \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales deben ser iguales: 1. $f'(1^-) = 2a(1+1) = 4a$ 2. $f'(1^+) = b(1) = b$ Igualamos: $$4a = b \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** No olvides que para que una función sea derivable en un punto, obligatoriamente debe ser continua en dicho punto previamente.

Resolvemos el sistema formado por la **Ecuación 1** y la **Ecuación 2**: $$\begin{cases} b = 8a - 4 \\ b = 4a \end{cases}$$ Sustituimos la segunda en la primera: $$4a = 8a - 4$$ $$4 = 4a \implies a = 1$$ Ahora calculamos $b$: $$b = 4(1) = 4$$ ✅ **Resultado (valores de parámetros):** $$\boxed{a = 1, \quad b = 4}$$

**b) (1.25 puntos) Para $a = 1$ y $b = 2$, esboce la gráfica de la función $f$ y calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje $OX$ y las rectas $x = -2$ y $x = 1$.** Con $a=1$ y $b=2$, la función es: $$f(x)=\begin{cases} (x+1)^2 & \text{si } -3 \le x \le 1,\\ x^2 + 2 & \text{si } 1 < x \le 2. \end{cases}$$ Analizamos la primera rama $y = (x+1)^2$ en el intervalo $[-2, 1]$: - Es una parábola con vértice en $(-1, 0)$. - Puntos clave: $(-2, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$ y $(1, 4)$. En el intervalo $[-2, 1]$ la función siempre es positiva o cero ($f(x) \ge 0$), por lo que el área será directamente la integral definida.

El área solicitada está comprendida entre $x=-2$ y $x=1$. Ambas rectas caen dentro de la primera rama de la función. $$A = \int_{-2}^{1} (x+1)^2 \, dx$$ Resolvemos la integral (usando la regla de la cadena para funciones simples o desarrollando el binomio): $$A = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-2}^{1}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left( \frac{(1+1)^3}{3} \right) - \left( \frac{(-2+1)^3}{3} \right)$$ $$A = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow dice que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = 3 \text{ u}^2}$$