Estudio completo de una función racional

**a) (1 punto) Determine el dominio de la función y estudie su monotonía y curvatura.** La función $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que no se puede dividir por cero. El valor $x = -2$ será un punto crítico para el estudio de la monotonía y las asíntotas. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x-3)'(x+2) - (x-3)(x+2)'}{(x+2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-3) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+3}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: - El numerador es $5$, que siempre es positivo ($5 \gt 0$). - El denominador $(x+2)^2$ siempre es positivo para cualquier $x$ en el dominio. Como $f'(x) \gt 0$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$, la función es **estrictamente creciente** en todo su dominio. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,+\infty)\\\hline f'(x) & + & \nexists & + \end{array}$$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{f(x) \text{ es creciente en } (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)}$$

Para la curvatura, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ derivando $f'(x) = 5(x+2)^{-2}$: $$f''(x) = 5 \cdot (-2)(x+2)^{-3} \cdot 1 = \frac{-10}{(x+2)^3}$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por el dominio: 1. **Intervalo $(-\infty, -2)$:** Si $x \lt -2$, entonces $(x+2)$ es negativo, y su cubo $(x+2)^3$ también es negativo. Como el numerador es $-10$ (negativo), la fracción es positiva: $f''(x) \gt 0$. 2. **Intervalo $(-2, +\infty)$:** Si $x \gt -2$, entonces $(x+2)$ es positivo, y su cubo $(x+2)^3$ es positivo. La fracción es negativa: $f''(x) \lt 0$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,+\infty)\\\hline f''(x) & + & \nexists & - \end{array}$$ 💡 **Tip:** Cuando $f''(x) \gt 0$ la función es convexa (cóncava hacia arriba $\cup$) y cuando $f''(x) \lt 0$ es cóncava (cóncava hacia abajo $\cap$). ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Convexa (}\cup\text{) en } (-\infty, -2) \text{ y Cóncava (}\cap\text{) en } (-2, +\infty)}$$

**b) (1 punto) Calcule las ecuaciones de las asíntotas de $f$ si existen. Calcule los puntos de corte de la gráfica de $f$ con los ejes de coordenadas.** **Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en $x = -2$ (donde se anula el denominador): $$\lim_{x \to -2} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-5}{0} = \infty \implies \text{Existe AV en } x = -2$$ **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos el límite al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-3}{x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x} = 1 \implies \text{Existe AH en } y = 1$$ Como existe asíntota horizontal, **no hay asíntota oblicua**. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = -2, \quad \text{AH: } y = 1}$$

**Corte con el eje Y ($x=0$):** $$f(0) = \frac{0-3}{0+2} = -\frac{3}{2} = -1.5 \implies P_1(0, -1.5)$$ **Corte con el eje X ($y=0$):** $$\frac{x-3}{x+2} = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3 \implies P_2(3, 0)$$ ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(0, -1.5) \text{ y } (3, 0)}$$

**c) (0.5 puntos) Represente la gráfica de la función $f$.** Utilizando los datos obtenidos (dominio, crecimiento, curvatura, asíntotas y puntos de corte), representamos la hipérbola. - La función se acerca a $y=1$ en los extremos. - Se rompe en $x=-2$ hacia $\pm \infty$. - Pasa por $(0, -1.5)$ y $(3, 0)$.