Probabilidad: Pago con tarjeta y móvil

En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado y extraemos los datos proporcionados: - $T$: "El restaurante admite el pago con tarjeta de crédito". - $M$: "El restaurante admite el pago mediante el móvil". Los datos en términos de probabilidad son: - $P(T) = 0,80$ - $P(M) = 0,50$ - $P(\overline{T} \cap \overline{M}) = 0,10$ (No admite ninguno de los dos). Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para facilitar los cálculos: $$\begin{array}{c|cc|c} & M & \overline{M} & \text{Total} \\ \hline T & 0,40 & 0,40 & 0,80 \\ \overline{T} & 0,10 & 0,10 & 0,20 \\ \hline \text{Total} & 0,50 & 0,50 & 1,00 \end{array}$$ Para completar la tabla hemos razonado así: 1. Si $P(T) = 0,80$, entonces $P(\overline{T}) = 1 - 0,80 = 0,20$. 2. Si $P(M) = 0,50$, entonces $P(\overline{M}) = 1 - 0,50 = 0,50$. 3. Como nos dan $P(\overline{T} \cap \overline{M}) = 0,10$, lo colocamos en su celda. 4. Por diferencia, $P(\overline{T} \cap M) = P(\overline{T}) - P(\overline{T} \cap \overline{M}) = 0,20 - 0,10 = 0,10$. 5. Por diferencia, $P(T \cap M) = P(M) - P(\overline{T} \cap M) = 0,50 - 0,10 = 0,40$. 6. Por último, $P(T \cap \overline{M}) = P(T) - P(T \cap M) = 0,80 - 0,40 = 0,40$.

**a) i) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el restaurante admita alguno de estos dos medios de pago.** El suceso "alguno de estos dos" equivale a la unión de ambos sucesos: $P(T \cup M)$. Podemos calcularlo mediante la propiedad del suceso contrario: $$P(T \cup M) = 1 - P(\overline{T \cup M})$$ Por las Leyes de De Morgan, sabemos que $\overline{T \cup M} = \overline{T} \cap \overline{M}$. Sustituyendo el dato del enunciado: $$P(T \cup M) = 1 - P(\overline{T} \cap \overline{M}) = 1 - 0,10 = 0,90.$$ 💡 **Tip:** La unión $P(A \cup B)$ representa que ocurre al menos uno de los dos. Siempre se cumple $P(A \cup B) = 1 - P(\text{ni } A \text{ ni } B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cup M) = 0,90}$$

**a) ii) (1 punto) Calcule la probabilidad de que el restaurante admita pagar con móvil sabiendo que admite pagar con tarjeta de crédito.** Se trata de una probabilidad condicionada. Buscamos $P(M | T)$. La fórmula es: $$P(M | T) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)}$$ Utilizamos los valores que hemos obtenido en la tabla de contingencia o mediante la fórmula de la unión: - $P(T \cap M) = 0,40$ - $P(T) = 0,80$ Calculamos: $$P(M | T) = \frac{0,40}{0,80} = 0,5.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El suceso que "se sabe" o que ya ha ocurrido siempre va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M | T) = 0,5}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos "Pagar con tarjeta" y "Pagar con móvil"?** Para comprobar si dos sucesos son independientes, debemos verificar si se cumple la condición: $$P(T \cap M) = P(T) \cdot P(M)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(T) \cdot P(M) = 0,80 \cdot 0,50 = 0,40.$$ Observamos el valor de la intersección que obtuvimos en el paso 1: $$P(T \cap M) = 0,40.$$ Como $0,40 = 0,40$, se cumple la igualdad. Por tanto, los sucesos **son independientes**. 💡 **Tip:** Otra forma de verlo es que si $P(M|T) = P(M)$, los sucesos son independientes. En este caso, $P(M|T) = 0,5$ y $P(M) = 0,5$, lo que confirma la independencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, son independientes porque } P(T \cap M) = P(T) \cdot P(M)}$$