Muestreo estratificado y Distribución de medias muestrales

**a) (1.25 puntos) Se divide una población en cuatro estratos de tamaño 60000, 20000, 24000 y 16000 personas. En dicha población se realiza un muestreo estratificado por afijación proporcional, seleccionándose 144 personas del tercer estrato. Determine el tamaño total de la muestra y su composición.** En un muestreo estratificado por **afijación proporcional**, el número de individuos seleccionados en cada estrato ($n_i$) es proporcional al tamaño del estrato en la población ($N_i$). La relación es: $$\frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2} = \frac{n_3}{N_3} = \frac{n_4}{N_4} = \frac{n}{N}$$ Donde: - Tamaños de los estratos: $N_1 = 60000$, $N_2 = 20000$, $N_3 = 24000$, $N_4 = 16000$. - Tamaño total de la población: $N = 60000 + 20000 + 24000 + 16000 = 120000$. - Muestra del tercer estrato: $n_3 = 144$. 💡 **Tip:** La afijación proporcional garantiza que la muestra sea un "espejo" a escala de la población original.

Utilizamos la razón de proporcionalidad conocida del tercer estrato para hallar el tamaño total de la muestra ($n$): $$\frac{n_3}{N_3} = \frac{n}{N} \implies \frac{144}{24000} = \frac{n}{120000}$$ Calculamos la constante de proporcionalidad (o fracción de muestreo): $$k = \frac{144}{24000} = 0.006$$ Ahora despejamos $n$: $$n = N \cdot 0.006 = 120000 \cdot 0.006 = 720$$ ✅ **Resultado (Tamaño total):** $$\boxed{n = 720}$$

Calculamos el número de personas de los estratos restantes ($n_1, n_2, n_4$) multiplicando el tamaño de cada estrato por la constante $k = 0.006$: - Estrato 1: $n_1 = N_1 \cdot 0.006 = 60000 \cdot 0.006 = 360$ - Estrato 2: $n_2 = N_2 \cdot 0.006 = 20000 \cdot 0.006 = 120$ - Estrato 4: $n_4 = N_4 \cdot 0.006 = 16000 \cdot 0.006 = 96$ **Comprobación:** $360 + 120 + 144 + 96 = 720$. Es correcto. ✅ **Resultado (Composición):** $$\boxed{n_1 = 360, \quad n_2 = 120, \quad n_3 = 144, \quad n_4 = 96}$$

**b) (1.25 puntos) Dada la población {1, 4, 7}, establezca todas las muestras posibles de tamaño 2 que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determinar la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.** En el muestreo aleatorio simple (con reposición), las muestras son variaciones con repetición de los elementos de la población. Como el tamaño es $n=2$ y la población tiene $N=3$ elementos, habrá $3^2 = 9$ muestras posibles. Listamos las muestras y calculamos la media de cada una ($\bar{x}$): $$\begin{array}{c|c|c} \text{Muestra} & \text{Suma} & \text{Media } (\bar{x}) \\ \hline (1, 1) & 2 & 1 \\ (1, 4) & 5 & 2.5 \\ (1, 7) & 8 & 4 \\ (4, 1) & 5 & 2.5 \\ (4, 4) & 8 & 4 \\ (4, 7) & 11 & 5.5 \\ (7, 1) & 8 & 4 \\ (7, 4) & 11 & 5.5 \\ (7, 7) & 14 & 7 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En muestreo aleatorio simple, el orden importa y los elementos pueden repetirse.

La media de las medias muestrales ($\mu_{\bar{x}}$) es el promedio de los 9 valores obtenidos en el paso anterior: $$\mu_{\bar{x}} = \frac{1 + 2.5 + 4 + 2.5 + 4 + 5.5 + 4 + 5.5 + 7}{9} = \frac{36}{9} = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media de las medias muestrales siempre coincide con la media de la población original. En este caso: $\mu = \frac{1+4+7}{3} = 4$. ✅ **Resultado (Media):** $$\boxed{\mu_{\bar{x}} = 4}$$

Calculamos primero la varianza de las medias muestrales ($\sigma_{\bar{x}}^2$): $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sum \bar{x}_i^2}{N} - \mu_{\bar{x}}^2$$ $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{1^2 + 2.5^2 + 4^2 + 2.5^2 + 4^2 + 5.5^2 + 4^2 + 5.5^2 + 7^2}{9} - 4^2$$ $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{1 + 6.25 + 16 + 6.25 + 16 + 30.25 + 16 + 30.25 + 49}{9} - 16$$ $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{171}{9} - 16 = 19 - 16 = 3$$ La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza: $$\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{3} \approx 1.732$$ 💡 **Tip:** También puedes comprobarlo con la fórmula $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $\sigma$ es la desviación de la población $\{1, 4, 7\}$. ✅ **Resultado (Desviación típica):** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{3} \approx 1.732}$$