Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la proporción

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo de confianza con un nivel del 97.5% para estimar la proporción poblacional de estudiantes de esa universidad procedentes de otras provincias.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 2100$ - Estudiantes de otras provincias (casos favorables): $x = 630$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ y su complementario $\hat{q}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{630}{2100} = 0.3$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.3 = 0.7$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el estimador puntual de la proporción poblacional. Se obtiene dividiendo los casos favorables entre el tamaño total de la muestra.

Determinamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente a un nivel de confianza del $97.5\%$. Si el nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.975$, calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.975 = 0.025 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.0125$$ Necesitamos encontrar el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0125 = 0.9875$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, observamos que el valor de probabilidad $0.9875$ corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.24}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca los límites en una Normal estándar que encierran el área central correspondiente al nivel de confianza deseado.

Calculamos el error máximo admisible $E$ y construimos el intervalo. La fórmula del error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituyendo los valores: $$E = 2.24 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 0.7}{2100}} = 2.24 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{2100}} = 2.24 \cdot \sqrt{0.0001} = 2.24 \cdot 0.01 = 0.0224$$ El intervalo de confianza se define como $IC = (\hat{p} - E, \; \hat{p} + E)$: $$IC = (0.3 - 0.0224, \; 0.3 + 0.0224) = (0.2776, \; 0.3224)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0.2776, \; 0.3224)}$$

**b) (1.25 puntos) En una nueva muestra que mantiene la misma proporción muestral, y con el mismo nivel de confianza, queremos que el error máximo cometido sea de 0.01. Halle su tamaño mínimo.** En este apartado, conocemos el error máximo que estamos dispuestos a cometer y debemos despejar el tamaño $n$. Datos: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.3$ y $\hat{q} = 0.7$ - Nivel de confianza: $97.5\% \implies z_{\alpha/2} = 2.24$ - Error máximo deseado: $E = 0.01$ La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ 💡 **Tip:** Para reducir el error a la mitad manteniendo la confianza, normalmente se necesita cuadruplicar el tamaño de la muestra.

Despejamos $n$ de la fórmula del error: $$E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(2.24)^2 \cdot 0.3 \cdot 0.7}{(0.01)^2} = \frac{5.0176 \cdot 0.21}{0.0001} = \frac{1.053696}{0.0001} = 10536.96$$ Como $n$ debe ser un número entero y buscamos el tamaño **mínimo** para que el error no sea superior a $0.01$, siempre redondeamos hacia arriba al siguiente número entero. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 10537}$$