Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (2 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.** Para representar el recinto, primero convertimos cada inecuación en una igualdad para obtener las rectas que limitan la región factible: - $r_1: x + 2y = 7$ - $r_2: 2x - y = 4$ - $r_3: 4x - y = 1$ - $r_4: 3x + 2y = 20$ 💡 **Tip:** Para representar cada recta, lo más sencillo es obtener dos puntos de cada una (por ejemplo, dando valor $0$ a la $x$ y luego a la $y$).

Los vértices del recinto se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: 1. **Vértice A ($r_1 \cap r_3$):** $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \implies y = 4x - 1$$ Sustituyendo en la primera: $x + 2(4x - 1) = 7 \implies x + 8x - 2 = 7 \implies 9x = 9 \implies x = 1, y = 3$. $$\mathbf{A(1, 3)}$$ 2. **Vértice B ($r_3 \cap r_4$):** $$\begin{cases} 4x - y = 1 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases} \implies y = 4x - 1$$ Sustituyendo: $3x + 2(4x - 1) = 20 \implies 3x + 8x - 2 = 20 \implies 11x = 22 \implies x = 2, y = 7$. $$\mathbf{B(2, 7)}$$ 3. **Vértice C ($r_4 \cap r_2$):** $$\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \implies y = 2x - 4$$ Sustituyendo: $3x + 2(2x - 4) = 20 \implies 3x + 4x - 8 = 20 \implies 7x = 28 \implies x = 4, y = 4$. $$\mathbf{C(4, 4)}$$ 4. **Vértice D ($r_2 \cap r_1$):** $$\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \implies y = 2x - 4$$ Sustituyendo: $x + 2(2x - 4) = 7 \implies x + 4x - 8 = 7 \implies 5x = 15 \implies x = 3, y = 2$. $$\mathbf{D(3, 2)}$$ ✅ **Resultado (vértices):** $$\boxed{A(1, 3), B(2, 7), C(4, 4), D(3, 2)}$$

Para determinar el semiplano correcto para cada inecuación, podemos probar con un punto cualquiera que no esté en la recta (por ejemplo, el $(0,0)$ si la recta no pasa por él). - Para $x + 2y \geq 7$: $0+0 \geq 7$ (Falso, el semiplano es el que no contiene al origen). - Para $2x - y \leq 4$: $0-0 \leq 4$ (Verdadero, contiene al origen). - Para $4x - y \geq 1$: $0-0 \geq 1$ (Falso, no contiene al origen). - Para $3x + 2y \leq 20$: $0+0 \leq 20$ (Verdadero, contiene al origen). El recinto resultante es el polígono convexo formado por los vértices calculados.

**b) (0.5 puntos) Obtenga el valor máximo de la función $F(x, y) = x + 3y$ en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza.** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que el óptimo (máximo o mínimo) se alcanza en uno de los vértices del recinto o en un segmento de su frontera. Evaluamos la función $F(x, y) = x + 3y$ en cada vértice: - $F(1, 3) = 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10$ - $F(2, 7) = 2 + 3(7) = 2 + 21 = 23$ - $F(4, 4) = 4 + 3(4) = 4 + 12 = 16$ - $F(3, 2) = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9$ Comparando los resultados, el valor máximo es **23**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El valor máximo es } 23 \text{ y se alcanza en el punto } B(2, 7)}$$