Invertibilidad de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (0.75 puntos) Determine los valores de $a$ para que la matriz $A$ sea no invertible.** Una matriz cuadrada $A$ es **no invertible** (singular) si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus o desarrollando por la tercera fila (que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 0 \\ 8 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix}$$ Si desarrollamos por la tercera fila/columna: $$|A| = a \cdot \begin{vmatrix} a & 2 \\ 8 & a \end{vmatrix} = a \cdot (a^2 - 16)$$ Si aplicamos la regla de Sarrus directamente: $$|A| = (a \cdot a \cdot a) + (2 \cdot 0 \cdot 0) + (0 \cdot 8 \cdot 0) - [ (0 \cdot a \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot a) + (a \cdot 2 \cdot 8) ]$$ $$|A| = a^3 - 16a$$ 💡 **Tip:** Una matriz es invertible si $|A| \neq 0$. Si $|A| = 0$, la matriz no tiene inversa porque en el cálculo de la misma habría que dividir por cero.

Para que la matriz no sea invertible, igualamos el determinante a cero: $$a^3 - 16a = 0$$ Factorizamos la expresión: $$a(a^2 - 16) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $a = 0$ 2. $a^2 - 16 = 0 \implies a^2 = 16 \implies a = \pm \sqrt{16} = \pm 4$ Por tanto, los valores de $a$ para los cuales la matriz no es invertible son $a = 0$, $a = 4$ y $a = -4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \{0, 4, -4\}}$$

**b) (1 punto) Para $a = 5$, calcule la inversa de la matriz $A$.** Sustituimos $a = 5$ en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 8 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$ Primero, calculamos su determinante usando la expresión obtenida en el apartado anterior $|A| = a^3 - 16a$: $$|A| = 5^3 - 16(5) = 125 - 80 = 45$$ Como $|A| = 45 \neq 0$, sabemos que la matriz es invertible. 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula para la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$, donde $Adj(A)$ es la matriz de los adjuntos.

Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 25$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -40$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 8 & 5 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -10$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 25$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} = 25 - 16 = 9$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 25 & -40 & 0 \\ -10 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$ Trasponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 25 & -10 & 0 \\ -40 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

Aplicamos la fórmula final: $$A^{-1} = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} 25 & -10 & 0 \\ -40 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$ Podemos simplificar las fracciones dividiendo cada elemento por 45: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 25/45 & -10/45 & 0 \\ -40/45 & 25/45 & 0 \\ 0 & 0 & 9/45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/9 & -2/9 & 0 \\ -8/9 & 5/9 & 0 \\ 0 & 0 & 1/5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/9 & -2/9 & 0 \\ -8/9 & 5/9 & 0 \\ 0 & 0 & 1/5 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.75 puntos) Para $a = 5$, resuelva la ecuación matricial $A \cdot X = B$.** Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos lados de la ecuación: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B$$ $$I \cdot X = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ Sustituimos $A^{-1}$ (usando la forma con el determinante fuera para facilitar el cálculo) y $B$: $$X = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} 25 & -10 & 0 \\ -40 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación de la matriz por el vector columna: $$X = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} (25 \cdot 1) + (-10 \cdot -2) + (0 \cdot 10) \\ (-40 \cdot 1) + (25 \cdot -2) + (0 \cdot 10) \\ (0 \cdot 1) + (0 \cdot -2) + (9 \cdot 10) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} 25 + 20 + 0 \\ -40 - 50 + 0 \\ 0 + 0 + 90 \end{pmatrix} = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} 45 \\ -90 \\ 90 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento entre 45: $$X = \begin{pmatrix} 45/45 \\ -90/45 \\ 90/45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones matriciales del tipo $AX=B$, asegúrate siempre de multiplicar por $A^{-1}$ por el lado correcto (la izquierda en este caso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}}$$