Optimización de beneficios en una discoteca

**a) (0.5 puntos) La función beneficio en función del número de horas diarias que la discoteca permanece abierta.** El beneficio $B(x)$ se define como la diferencia entre los ingresos $I(x)$ y los costes $C(x)$: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ Sustituimos las funciones dadas en el enunciado: $$B(x) = (x^3 - x) - (x^3 - x^2 + 6)$$ Operamos eliminando los paréntesis y agrupando términos semejantes: $$B(x) = x^3 - x - x^3 + x^2 - 6$$ $$B(x) = x^2 - x - 6$$ Considerando la restricción de la licencia, el dominio de la función es $x \in [0, 8]$, donde $x$ representa el número de horas. 💡 **Tip:** El beneficio es positivo si los ingresos superan a los costes. Si el resultado es negativo, hablamos de pérdidas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(x) = x^2 - x - 6, \quad 0 \le x \le 8}$$

**b) (0.5 puntos) El número de horas que debe permanecer abierta para obtener beneficios.** Para obtener beneficios, la función debe ser positiva: $B(x) \gt 0$. Primero, hallamos los puntos de corte con el eje $X$ resolviendo $x^2 - x - 6 = 0$ mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $x_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{-4}{2} = -2$ Como el tiempo no puede ser negativo, solo consideramos $x = 3$. Estudiamos el signo de $B(x)$ en el intervalo permitido $[0, 8]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 3) & 3 & (3, 8] \\ \hline B(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Por tanto, la discoteca obtiene beneficios si abre más de 3 horas. 💡 **Tip:** Para comprobar el signo en un intervalo, elige un valor cualquiera. Por ejemplo, si $x=4$, $B(4)=4^2-4-6=6 \gt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe abrir entre 3 y 8 horas (intervalo } (3, 8])}$$

**c) (0.75 puntos) En qué momento se tienen las mayores pérdidas y a cuánto ascienden.** Las mayores pérdidas corresponden al **mínimo absoluto** de la función beneficio. Al ser una función continua en un intervalo cerrado $[0, 8]$, buscamos donde la derivada es cero: $$B'(x) = 2x - 1$$ $$2x - 1 = 0 \implies x = 0.5 \text{ horas}$$ Calculamos la segunda derivada para confirmar que es un mínimo: $$B''(x) = 2 \gt 0 \implies \text{Mínimo relativo en } x = 0.5$$ Evaluamos el beneficio en este punto: $$B(0.5) = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$$ Un beneficio de $-6.25$ miles de euros equivale a unas pérdidas de $6.25$ miles de euros (6250 €). 💡 **Tip:** No olvides que el enunciado indica que las unidades están en **miles de euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mayores pérdidas a las 0.5 horas (30 min), ascendiendo a 6.25 mil euros}}$$

**d) (0.75 puntos) El tiempo que debe permanecer abierta para obtener el máximo beneficio y a cuánto asciende.** Para hallar el máximo absoluto en el intervalo $[0, 8]$, comparamos los valores de la función en el punto crítico (que ya sabemos que es un mínimo) y en los extremos del intervalo: 1. En $x = 0$ (extremo inferior): $B(0) = 0^2 - 0 - 6 = -6$ mil euros (pérdidas). 2. En $x = 0.5$ (mínimo): $B(0.5) = -6.25$ mil euros. 3. En $x = 8$ (extremo superior): $B(8) = 8^2 - 8 - 6 = 64 - 14 = 50$ mil euros. Comparando los valores, el beneficio máximo se alcanza abriendo el local el máximo tiempo permitido. 💡 **Tip:** En funciones cuadráticas con coeficiente principal positivo ($a \gt 0$), el máximo en un intervalo cerrado siempre estará en uno de los extremos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo beneficio abriendo 8 horas, ascendiendo a 50 mil euros}}$$