Continuidad, derivabilidad y cálculo de áreas en funciones a trozos

**a) (1 punto) Calcule $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua y derivable.** Para que la función sea derivable, primero debe ser continua. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el cambio de rama, $x = 1$. Para que $f$ sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben ser iguales al valor de la función: 1. $f(1) = a(1)^2 + b(1) + 2 = a + b + 2$ 2. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 + bx + 2) = a + b + 2$ 3. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x+1} = \frac{4}{1+1} = 2$ Igualamos los límites para evitar el salto entre ramas: $$a + b + 2 = 2 \implies a + b = 0 \implies b = -a$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Una vez asegurada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Calculamos la derivada de la función en cada rama para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + b & \text{si } x \lt 1 \\ \frac{-4}{(x+1)^2} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben coincidir: 1. $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2ax + b) = 2a + b$ 2. $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{-4}{(x+1)^2} = \frac{-4}{(1+1)^2} = \frac{-4}{4} = -1$ Igualamos ambas expresiones: $$2a + b = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{u}$ es $\frac{-k \cdot u'}{u^2}$.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones con $a$ y $b$: $$\begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = -1 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2a + b) - (a + b) = -1 - 0$$ $$a = -1$$ Sustituimos $a$ en la primera ecuación: $$-1 + b = 0 \implies b = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 1}$$

**b) (0.75 puntos) Para $a = -1$ y $b = 1$, realice un esbozo de la gráfica de la función $f$.** Con $a = -1$ y $b = 1$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + x + 2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{4}{x+1} & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ - **Rama 1 ($x \le 1$):** Es una parábola que abre hacia abajo. Su vértice está en $x = \frac{-1}{2(-1)} = 0.5$. Sus puntos de corte con el eje $OX$ son $-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$, que da $x = -1$ y $x = 2$ (el 2 no pertenece a esta rama). Pasa por el punto $(1, 2)$. - **Rama 2 ($x \gt 1$):** Es una hipérbola con asíntota vertical en $x = -1$ (fuera de su dominio) y asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to +\infty$. Pasa por el punto $(1, 2)$, uniendo suavemente con la parábola. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\{x\\le 1:-x^2+x+2, x>1:4/(x+1)\\}", "color": "#2563eb" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 5, "bottom": -1, "top": 4 } } }

**c) (0.75 puntos) Para $a = -1$ y $b = 1$, halle el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de $f$, la recta $x = 1$ y el eje $OX$.** El recinto está limitado por la función en su primera rama ($x \le 1$), el eje $OX$ ($y = 0$) y la recta vertical $x = 1$. Primero, buscamos el punto de corte de la función con el eje $OX$ para determinar el límite inferior de integración: $$-x^2 + x + 2 = 0 \implies x = -1 \text{ y } x = 2$$ Como estamos en la rama $x \le 1$, el límite es $x = -1$. El área viene dada por la integral definida: $$A = \int_{-1}^{1} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área de una región sobre el eje $X$ entre $x=a$ y $x=b$ es $\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 1$): $$F(1) = -\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 2(1) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 + 3 + 12}{6} = \frac{13}{6}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2 + 3 - 12}{6} = -\frac{7}{6}$$ Restamos los valores: $$A = F(1) - F(-1) = \frac{13}{6} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{13}{6} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{10}{3} \text{ unidades}^2 \approx 3.33 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=\\{x\\le 1:-x^2+x+2, x>1:4/(x+1)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "0 \\le y \\le -x^2+x+2 \\{-1 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 2, "bottom": -1, "top": 3 } } }