Probabilidad: Actividades extraescolares

En primer lugar, definimos los sucesos principales a partir del enunciado: - $D$: El estudiante practica deporte. - $L$: El estudiante estudia idiomas. Traducimos los porcentajes a probabilidades decimales: - Practican deporte o estudian idiomas: $P(D \cup L) = 0.80$ - Practican ambas actividades: $P(D \cap L) = 0.35$ - No estudian idiomas: $P(\bar{L}) = 0.60$ A partir de $P(\bar{L})$, podemos obtener la probabilidad de estudiar idiomas: $$P(L) = 1 - P(\bar{L}) = 1 - 0.60 = 0.40.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad del suceso contrario es $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Para completar la información, necesitamos $P(D)$. Usamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(D \cup L) = P(D) + P(L) - P(D \cap L)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.80 = P(D) + 0.40 - 0.35$$ $$0.80 = P(D) + 0.05 \implies P(D) = 0.80 - 0.05 = 0.75.$$ Ahora organizamos todos los datos en una **tabla de contingencia** para facilitar los cálculos: $$\begin{array}{c|cc|c} & L & \bar{L} & \text{Total} \\ \hline D & 0.35 & 0.40 & 0.75 \\ \bar{D} & 0.05 & 0.20 & 0.25 \\ \hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la suma de las filas y las columnas debe coincidir con los totales marginales.

**i) (0.75 puntos) Practique deporte y no estudie idiomas.** Buscamos la probabilidad de la intersección entre practicar deporte ($D$) y el complementario de idiomas ($\bar{L}$). Mirando nuestra tabla, o aplicando la fórmula: $$P(D \cap \bar{L}) = P(D) - P(D \cap L)$$ $$P(D \cap \bar{L}) = 0.75 - 0.35 = 0.40$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D \cap \bar{L}) = 0.40}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de que ocurra $A$ pero no $B$ es $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.

**ii) (0.5 puntos) Estudie idiomas y no practique deporte.** En este caso buscamos $P(L \cap \bar{D})$. Directamente de la tabla o calculando: $$P(L \cap \bar{D}) = P(L) - P(D \cap L)$$ $$P(L \cap \bar{D}) = 0.40 - 0.35 = 0.05$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(L \cap \bar{D}) = 0.05}$$

**iii) (0.5 puntos) Haga solamente una de las dos actividades.** Este suceso ocurre cuando el estudiante hace deporte pero no idiomas, **o** cuando hace idiomas pero no deporte. Como son sucesos incompatibles, sumamos sus probabilidades: $$P(\text{Solo una}) = P(D \cap \bar{L}) + P(L \cap \bar{D})$$ $$P(\text{Solo una}) = 0.40 + 0.05 = 0.45$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.45}$$

**iv) (0.25 puntos) No haga ninguna de las dos actividades.** Este suceso es el contrario de realizar al menos una de las dos ($D \cup L$). Por tanto: $$P(\bar{D} \cap \bar{L}) = 1 - P(D \cup L)$$ $$P(\bar{D} \cap \bar{L}) = 1 - 0.80 = 0.20$$ También podemos observar este dato directamente en la casilla de intersección de la tabla de contingencia entre $\bar{D}$ y $\bar{L}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D} \cap \bar{L}) = 0.20}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “Practicar deporte” y “Estudiar idiomas”?** Dos sucesos $D$ y $L$ son independientes si y solo si se cumple que: $$P(D \cap L) = P(D) \cdot P(L)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(D) \cdot P(L) = 0.75 \cdot 0.40 = 0.30$$ Comparamos con el valor de la intersección dado por el enunciado: $$P(D \cap L) = 0.35$$ Como $0.35 \neq 0.30$, la condición de independencia no se cumple. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes (son dependientes)}}$$ 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra un suceso cambia la probabilidad del otro, entonces son dependientes. Matemáticamente, basta con comprobar si el producto de las probabilidades coincide con la intersección.