Probabilidad de efectividad de las vacunas

**a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con $A$ y no le sea efectiva?** En primer lugar, definimos los sucesos del problema basándonos en el tipo de vacuna recibida y su efectividad: - $A$: La persona recibe la vacuna $A$. - $B$: La persona recibe la vacuna $B$. - $C$: La persona recibe la vacuna $C$. - $E$: La vacuna es efectiva. - $\overline{E}$: La vacuna no es efectiva. Calculamos la probabilidad de recibir la vacuna $C$ sabiendo que el total debe ser el 100%: $$P(C) = 1 - (P(A) + P(B)) = 1 - (0.48 + 0.35) = 1 - 0.83 = 0.17$$ A continuación, representamos los datos en un **diagrama de árbol**:

Para calcular la probabilidad de que una persona reciba la vacuna $A$ y esta no sea efectiva, multiplicamos la probabilidad de elegir la vacuna $A$ por la probabilidad de que no sea efectiva dado que es la $A$: $$P(A \cap \overline{E}) = P(A) \cdot P(\overline{E} | A)$$ Sustituyendo los valores del enunciado: $$P(A \cap \overline{E}) = 0.48 \cdot (1 - 0.70) = 0.48 \cdot 0.30 = 0.144$$ 💡 **Tip:** El suceso "A y no efectiva" es una intersección. En el árbol, se corresponde con seguir la rama de $A$ y luego la de no efectividad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \overline{E}) = 0.144}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Qué probabilidad hay de que la vacuna le sea efectiva?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de que sea efectiva para cada una de las vacunas: $$P(E) = P(A) \cdot P(E|A) + P(B) \cdot P(E|B) + P(C) \cdot P(E|C)$$ Sustituimos los datos: $$P(E) = 0.48 \cdot 0.70 + 0.35 \cdot 0.95 + 0.17 \cdot 0.94$$ $$P(E) = 0.336 + 0.3325 + 0.1598 = 0.8283$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de todas las rutas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $E$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E) = 0.8283}$$

**c) (0.5 puntos) Sabiendo que la vacuna no le ha sido efectiva, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vacunada con $C$?** Se nos pide una probabilidad condicionada a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C | \overline{E}) = \frac{P(C \cap \overline{E})}{P(\overline{E})}$$ Primero, calculamos $P(\overline{E})$ usando el suceso contrario al calculado en el apartado anterior: $$P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0.8283 = 0.1717$$ Ahora calculamos la intersección $P(C \cap \overline{E})$: $$P(C \cap \overline{E}) = P(C) \cdot P(\overline{E}|C) = 0.17 \cdot 0.06 = 0.0102$$ Finalmente, calculamos la probabilidad solicitada: $$P(C | \overline{E}) = \frac{0.0102}{0.1717} \approx 0.0594$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición: si sabemos el resultado final (no efectiva), podemos hallar la probabilidad de la causa (vacuna C). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C | \overline{E}) \approx 0.0594}$$