Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza, con un nivel del 92%, para la proporción de jóvenes que están suscritos a esta plataforma.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la proporción muestral: - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Número de jóvenes suscritos: $36$ - Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \dfrac{36}{100} = 0.36$ - Proporción complementaria ($\hat{q}$): $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.36 = 0.64$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p} + \hat{q} = 1$. Siempre necesitamos ambos valores para calcular el error.

Para un nivel de confianza del $92\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$ 2. Significación: $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal $N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0.08}{2} = 1 - 0.04 = 0.96$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$ el valor de probabilidad $0.96$, encontramos que el valor más cercano o exacto es: $$z_{\alpha/2} = 1.75$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación. En este caso, para $0.9599$ es $1.75$ y para $0.9608$ es $1.76$, por lo que $1.75$ es una excelente aproximación.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.36 \cdot 0.64}{100}} = 1.75 \cdot \sqrt{\frac{0.2304}{100}} = 1.75 \cdot \sqrt{0.002304}$$ $$E = 1.75 \cdot 0.048 = 0.084$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.36 - 0.084, 0.36 + 0.084) = (0.276, 0.444)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.276, 0.444)}$$

**b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño muestral mínimo que se debería tomar si se quisiera que el error máximo fuera 0.025.** Datos para este apartado: - Error máximo: $E \lt 0.025$ - Nivel de confianza: $92\% \implies z_{\alpha/2} = 1.75$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.36, \hat{q} = 0.64$ Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.75)^2 \cdot 0.36 \cdot 0.64}{(0.025)^2}$$ $$n = \frac{3.0625 \cdot 0.2304}{0.000625} = \frac{0.7056}{0.000625} = 1128.96$$ 💡 **Tip:** Como buscamos el tamaño muestral **mínimo** para no superar un error, siempre debemos redondear el resultado al siguiente número entero superior, independientemente de los decimales.

Para que el error sea como máximo $0.025$, necesitamos un tamaño muestral de: $$n \gt 1128.96$$ Por lo tanto, el primer número entero que cumple la condición es $1129$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1129 \text{ jóvenes}}$$