Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza para estimar la vida útil de este modelo de teléfono móvil con un nivel de confianza del 97%.** En primer lugar, identificamos la variable aleatoria $X$, que representa la vida útil del teléfono en meses. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución Normal: $$X \sim N(\mu, \sigma)$$ Se nos da la **varianza** $\sigma^2 = 9.61$. Para trabajar con el intervalo de confianza, necesitamos la desviación típica $\sigma$: $$\sigma = \sqrt{9.61} = 3.1 \text{ meses}$$ Disponemos de una muestra de tamaño $n = 10$. Calculamos la **media muestral** ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{30.6 + 30 + 31.3 + 29.7 + 32.3 + 32 + 32.8 + 31.5 + 31.2 + 30.5}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{311.9}{10} = 31.19 \text{ meses}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la varianza es el cuadrado de la desviación típica. Es un error común olvidar hacer la raíz cuadrada.

Para un nivel de confianza del $97\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor de $\alpha$: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$$ Consultando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$, buscamos el valor $0.985$ en el interior de la tabla y observamos que corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no aparece exacto, se suele realizar una interpolación o elegir el valor más cercano.

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 2.17 \cdot \frac{3.1}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot \frac{3.1}{3.16227} \approx 2.17 \cdot 0.9803 = 2.1272$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (31.19 - 2.1272, \; 31.19 + 2.1272)$$ $$I.C. = (29.0628, \; 33.3172)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (29.06, 33.32) \text{ meses}}$$

**b) (1. punto) Determine el tamaño mínimo muestral para que, con el mismo nivel de confianza, el error que se comete al estimar la duración media de la vida útil de este modelo de teléfono móvil sea inferior a 0.15 meses.** El nivel de confianza es el mismo ($97\%$), por lo que mantenemos el valor crítico $z_{\alpha/2} = 2.17$. La desviación típica sigue siendo $\sigma = 3.1$. Queremos que el error sea menor que $0.15$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 0.15$$ Sustituimos los valores: $$2.17 \cdot \frac{3.1}{\sqrt{n}} \lt 0.15$$

Despejamos el valor de $n$ paso a paso: 1. Multiplicamos para simplificar el numerador: $$\frac{6.727}{\sqrt{n}} \lt 0.15$$ 2. Pasamos $\sqrt{n}$ multiplicando y $0.15$ dividiendo: $$\frac{6.727}{0.15} \lt \sqrt{n}$$ $$44.8466... \lt \sqrt{n}$$ 3. Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$(44.8466...)^2 \lt n$$ $$2011.22... \lt n$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y debe ser estrictamente mayor que $2011.22$, el primer número que cumple la condición es $2012$. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, siempre redondeamos al entero superior, incluso si el decimal es muy pequeño, para garantizar que el error sea inferior al límite dado. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n \ge 2012 \text{ teléfonos}}$$