Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles: $C \cdot A, \quad A + B, \quad C^t \cdot B^t$.** Para saber si las operaciones son posibles, analizamos las dimensiones de las matrices: - $A$ es una matriz de dimensión $3 \times 3$. - $B$ es una matriz de dimensión $3 \times 3$. - $C$ es una matriz columna de dimensión $3 \times 1$. 1. **Operación $C \cdot A$:** Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. $C(3 \times \mathbf{1}) \cdot A(\mathbf{3} \times 3)$. Como $1 \neq 3$, **no es posible** realizar la operación. 2. **Operación $A + B$:** Para sumar matrices, estas deben tener la misma dimensión. $A(3 \times 3)$ y $B(3 \times 3)$. Como tienen la misma dimensión, **sí es posible**. 3. **Operación $C^t \cdot B^t$:** - $C^t$ (traspuesta de $C$) tiene dimensión $1 \times 3$. - $B^t$ (traspuesta de $B$) tiene dimensión $3 \times 3$. $C^t(1 \times \mathbf{3}) \cdot B^t(\mathbf{3} \times 3)$. Como $3 = 3$, **sí es posible** y el resultado será una matriz de $1 \times 3$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una matriz $M$ es de orden $m \times n$, su traspuesta $M^t$ es de orden $n \times m$.

Procedemos a calcular $A+B$ y $C^t \cdot B^t$: **Cálculo de $A + B$:** $$A+B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 0-1 & 1+1 \\ -1-1 & -1-1 & 1-1 \\ 2+1 & -1-1 & 0+1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{A+B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$$ **Cálculo de $C^t \cdot B^t$:** Primero hallamos las traspuestas: $C^t = \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \end{pmatrix}$ $B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ (Nota: $B$ es simétrica, por lo que $B^t = B$). Multiplicamos: $$C^t \cdot B^t = \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 3(1) + (-7)(-1) + (-2)(1) & 3(-1) + (-7)(-1) + (-2)(-1) & 3(1) + (-7)(-1) + (-2)(1) \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 3+7-2 & -3+7+2 & 3+7-2 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{C^t \cdot B^t = \begin{pmatrix} 8 & 6 & 8 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X = B \cdot X + C$.** Primero aislamos los términos con $X$ en un lado de la ecuación: $$A \cdot X - B \cdot X = C$$ Ahora sacamos factor común $X$ **por la derecha**: $$(A - B) \cdot X = C$$ Sea $M = A - B$. La ecuación queda como $M \cdot X = C$. Si $M$ tiene inversa, despejamos $X$ multiplicando por $M^{-1}$ por la izquierda: $$M^{-1} \cdot M \cdot X = M^{-1} \cdot C \implies X = M^{-1} \cdot C$$ 💡 **Tip:** Es fundamental respetar el orden al multiplicar matrices. Como $(A-B)$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe aparecer a la izquierda de $C$.

Calculamos la resta de las matrices $A$ y $B$: $$M = A - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-1) & 1-1 \\ -1-(-1) & -1-(-1) & 1-(-1) \\ 2-1 & -1-(-1) & 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $M^{-1}$ seguimos los pasos: 1. **Determinante de $M$:** $|M| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$ Desarrollamos por la primera fila: $|M| = 0 - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 0 = -1 \cdot (0 - 2) = 2$. Como $|M| \neq 0$, la matriz es **invertible**. 2. **Matriz de adjuntos (Cofactores):** $$Adj(M) = \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 3. **Traspuesta de la adjunta y cálculo final:** $$(Adj(M))^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$M^{-1} = \frac{1}{|M|}(Adj(M))^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}}$$

Finalmente, calculamos $X = M^{-1} \cdot C$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0(3) + \frac{1}{2}(-7) + 1(-2) \\ 1(3) + 0(-7) + 0(-2) \\ 0(3) + \frac{1}{2}(-7) + 0(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{2} - 2 \\ 3 \\ -\frac{7}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\ 3 \\ -\frac{7}{2} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -11/2 \\ 3 \\ -7/2 \end{pmatrix}}$$