Optimización de ventas mediante Programación Lineal

Para resolver este problema de programación lineal, lo primero es identificar qué queremos calcular. Definimos las variables: $x$: número de lotes de tipo A. $y$: número de lotes de tipo B. El objetivo es maximizar los ingresos totales por las ventas. Según los precios dados (35€ por el lote A y 45€ por el lote B), la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 35x + 45y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben representar las cantidades que el problema nos pide decidir o calcular.

A partir de los recursos disponibles (400 cuadernos y 300 estuches) y las limitaciones de venta, establecemos el sistema de inecuaciones: - **Cuadernos:** Cada lote A gasta 2 y cada lote B gasta 3. Total disponible: 400. $$2x + 3y \le 400$$ - **Estuches:** Cada lote A gasta 2 y cada lote B gasta 1. Total disponible: 300. $$2x + y \le 300$$ - **Lotes tipo B:** No se pueden vender más de 100. $$y \le 100$$ - **Restricciones de no negatividad:** No podemos vender cantidades negativas. $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ Resumiendo, el recinto de soluciones factibles viene dado por: $$\begin{cases} 2x + 3y \le 400 \\ 2x + y \le 300 \\ y \le 100 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$

Para dibujar la región factible, representamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el área común que cumple todas las inecuaciones: 1. $r_1: 2x + 3y = 400$ (Pasa por $(200, 0)$ y $(50, 100)$). 2. $r_2: 2x + y = 300$ (Pasa por $(150, 0)$ y $(100, 100)$). 3. $r_3: y = 100$ (Recta horizontal). La región factible es el polígono sombreado en el gráfico siguiente:

Los posibles máximos se encuentran en los vértices del recinto. Calculamos sus coordenadas: - **A** (Origen): $(0, 0)$ - **B** ($r_2$ con eje $X$): Si $y=0$ en $2x + y = 300 \implies x=150$. Punto $(150, 0)$. - **C** (Intersección $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} 2x + 3y = 400 \\ 2x + y = 300 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(2x + 3y) - (2x + y) = 400 - 300 \implies 2y = 100 \implies y = 50$. Sustituyendo $y=50$ en $r_2$: $2x + 50 = 300 \implies 2x = 250 \implies x = 125$. Punto **$(125, 50)$**. - **D** (Intersección $r_1$ y $r_3$): Si $y=100$ en $2x + 3y = 400 \implies 2x + 300 = 400 \implies 2x = 100 \implies x = 50$. Punto **$(50, 100)$**. - **E** ($r_3$ con eje $Y$): Si $x=0$ en $y=100$. Punto $(0, 100)$.

Evaluamos $f(x, y) = 35x + 45y$ en cada vértice para encontrar el valor máximo: - $f(0, 0) = 35(0) + 45(0) = 0€$ - $f(150, 0) = 35(150) + 45(0) = 5250€$ - $f(125, 50) = 35(125) + 45(50) = 4375 + 2250 = 6625€$ - $f(50, 100) = 35(50) + 45(100) = 1750 + 4500 = 6250€$ - $f(0, 100) = 35(0) + 45(100) = 4500€$ El valor máximo es de **6625€** y se alcanza vendiendo **125 lotes de tipo A** y **50 lotes de tipo B**. 💡 **Tip:** Siempre comprueba que el punto óptimo cumple todas las restricciones originales para asegurar que el cálculo es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{125 lotes A, 50 lotes B. Valor máximo: 6625€}}$$