Estudio de continuidad, derivabilidad y cálculo de áreas

**a) (1.25 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de $f$.** Primero analizamos la continuidad en los puntos donde la función cambia de rama: $x = -1$ y $x = 2$. En el resto de sus dominios, las funciones son continuas por ser polinómicas. **Continuidad en $x = -1$:** 1. $f(-1) = \frac{1}{3}(10 - 5(-1)) = \frac{15}{3} = 5$ 2. $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1} (4x^2 + 16x + 17) = 4(-1)^2 + 16(-1) + 17 = 4 - 16 + 17 = 5$ 3. $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{1}{3}(10 - 5x) = \frac{15}{3} = 5$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **$f(x)$ es continua en $x = -1$**. **Continuidad en $x = 2$:** 1. $f(2) = \frac{1}{3}(10 - 5(2)) = 0$ 2. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{3}(10 - 5x) = 0$ 3. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{3}{2} = 1.5$ Como $0 \neq 1.5$, existe un salto finito. **$f(x)$ no es continua en $x = 2$** (salto de 1.5 unidades). 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en un punto $a$, debe cumplirse que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 8x + 16 & \text{si } x < -1 \\ -\frac{5}{3} & \text{si } -1 < x < 2 \\ 0 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ **Derivabilidad en $x = -1$:** Calculamos los límites laterales de la derivada: - $f'(-1^-) = 8(-1) + 16 = 8$ - $f'(-1^+) = -\frac{5}{3}$ Como $8 \neq -\frac{5}{3}$, **$f(x)$ no es derivable en $x = -1$** (hay un punto anguloso). **Derivabilidad en $x = 2$:** Como la función no es continua en $x = 2$, **automáticamente no es derivable en $x = 2$**. ✅ **Conclusión apartado a):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{2\}. \text{ Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}.}$$ 💡 **Tip:** Si una función no es continua en un punto, es imposible que sea derivable en él. La continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad.

**b) (0.5 puntos) Represente gráficamente la función $f$.** Para dibujar la función, analizamos cada tramo: 1. **Parábola ($x < -1$):** $y = 4x^2 + 16x + 17$. El vértice está en $x = \frac{-16}{2 \cdot 4} = -2$. En $x=-2, y=1$. Pasa por $(-1, 5)$. 2. **Recta ($ -1 \leq x \leq 2$):** Une los puntos $(-1, 5)$ y $(2, 0)$. 3. **Recta horizontal ($x > 2$):** Es la constante $y = 1.5$ a partir de $x=2$ (con punto abierto en el inicio). Aquí tienes la representación interactiva:

**c) (0.75 puntos) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas entre $x = -2$ y $x = 2$.** Debemos calcular el área entre $x = -2$ y $x = 2$. Como la función cambia de rama en $x = -1$, dividimos la integral en dos recintos. Observando la gráfica, vemos que en todo el intervalo la función es positiva o cero, por lo que el área coincide con la integral definida: $$Área = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \int_{-2}^{-1} (4x^2 + 16x + 17) \, dx + \int_{-1}^{2} \frac{1}{3}(10 - 5x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Cuando una región abarca varias ramas de una función a trozos, hay que descomponer la integral en la suma de las integrales de cada rama involucrada.

Calculamos la primera integral (tramo parabólico): $$\int_{-2}^{-1} (4x^2 + 16x + 17) \, dx = \left[ \frac{4x^3}{3} + 8x^2 + 17x \right]_{-2}^{-1}$$ $$= \left( \frac{4(-1)^3}{3} + 8(-1)^2 + 17(-1) \right) - \left( \frac{4(-2)^3}{3} + 8(-2)^2 + 17(-2) \right)$$ $$= \left( -\frac{4}{3} + 8 - 17 \right) - \left( -\frac{32}{3} + 32 - 34 \right) = \left( -\frac{31}{3} \right) - \left( -\frac{38}{3} \right) = \frac{7}{3} \text{ u}^2$$ Calculamos la segunda integral (tramo rectilíneo): $$\int_{-1}^{2} \frac{1}{3}(10 - 5x) \, dx = \frac{1}{3} \left[ 10x - \frac{5x^2}{2} \right]_{-1}^{2}$$ $$= \frac{1}{3} \left[ \left( 10(2) - \frac{5(2)^2}{2} \right) - \left( 10(-1) - \frac{5(-1)^2}{2} \right) \right]$$ $$= \frac{1}{3} \left[ (20 - 10) - (-10 - 2.5) \right] = \frac{1}{3} [ 10 - (-12.5) ] = \frac{22.5}{3} = 7.5 = \frac{15}{2} \text{ u}^2$$ Sumamos ambas áreas: $$Área_{total} = \frac{7}{3} + \frac{15}{2} = \frac{14 + 45}{6} = \frac{59}{6} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Área = \frac{59}{6} \approx 9.83 \text{ u}^2}$$