Rectas tangentes y cálculo de una primitiva

**a) (1.5 puntos) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a $f$ que sean paralelas a la recta de ecuación $y = -3x + 1$.** Si una recta es paralela a $y = -3x + 1$, debe tener su misma pendiente. Por tanto, la pendiente de nuestras rectas tangentes debe ser $m = -3$. Sabemos que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto $x$ coincide con el valor de la derivada en dicho punto, es decir, buscamos los valores de $x$ tales que $f'(x) = -3$. Primero, calculamos la derivada de $f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5$: $$f'(x) = 3 \cdot 3x^2 - 6 \cdot 2x + 0 = 9x^2 - 12x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. La pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ es $f'(a)$.

Igualamos la derivada a la pendiente deseada ($m = -3$) para hallar las abscisas de los puntos de tangencia: $$9x^2 - 12x = -3$$ $$9x^2 - 12x + 3 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por 3: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ Esto nos da dos valores de $x$: - $x_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$ - $x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Para cada punto de tangencia, necesitamos su coordenada $y$ calculando $f(x)$: 1. **Para $x_1 = 1$:** $y_1 = f(1) = 3(1)^3 - 6(1)^2 + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$. El punto es $(1, 2)$. Ecuación: $y - 2 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 3 + 2 \implies \mathbf{y = -3x + 5}$. 2. **Para $x_2 = 1/3$:** $y_2 = f(1/3) = 3(1/3)^3 - 6(1/3)^2 + 5 = 3(1/27) - 6(1/9) + 5 = 1/9 - 2/3 + 5$. $y_2 = \frac{1 - 6 + 45}{9} = \frac{40}{9}$. El punto es $(1/3, 40/9)$. Ecuación: $y - \frac{40}{9} = -3(x - \frac{1}{3}) \implies y - \frac{40}{9} = -3x + 1 \implies y = -3x + 1 + \frac{40}{9} = -3x + \frac{49}{9}$. 💡 **Tip:** La ecuación punto-pendiente es $y - y_0 = m(x - x_0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -3x + 5 \quad \text{y} \quad y = -3x + \frac{49}{9}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 5", "color": "#2563eb" }, { "id": "t1", "latex": "y = -3x + 5", "color": "#ef4444" }, { "id": "t2", "latex": "y = -3x + 49/9", "color": "#ef4444" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 2.5, "bottom": -2, "top": 8 } } }

**b) (1 punto) Calcule la función $F$ que verifique que $F'(x) = f(x)$ y $F(2) = 4$.** Si $F'(x) = f(x)$, entonces $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. Calculamos la integral indefinida: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int (3x^3 - 6x^2 + 5) \, dx$$ Aplicamos las reglas básicas de integración: $$F(x) = 3 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C$$ $$F(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + 5x + C$$ Donde $C$ es la constante de integración. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Usamos el dato $F(2) = 4$ para encontrar el valor de $C$: $$F(2) = \frac{3}{4}(2)^4 - 2(2)^3 + 5(2) + C = 4$$ $$\frac{3}{4}(16) - 2(8) + 10 + C = 4$$ $$3 \cdot 4 - 16 + 10 + C = 4$$ $$12 - 16 + 10 + C = 4$$ $$6 + C = 4 \implies C = 4 - 6 = -2$$ Sustituimos $C$ en la expresión de $F(x)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + 5x - 2}$$