Cálculo de probabilidades y sucesos

**a) (0.75 puntos) Ocurra $A$ y $B$.** El suceso "ocurra $A$ y $B$" se representa matemáticamente como la intersección de ambos, es decir, $P(A \cap B)$. Para calcularlo, utilizamos la propiedad fundamental de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos del enunciado ($P(A)=0.7$, $P(B)=0.6$, $P(A \cup B)=0.8$): $$0.8 = 0.7 + 0.6 - P(A \cap B)$$ Despejamos $P(A \cap B)$: $$P(A \cap B) = 0.7 + 0.6 - 0.8 = 1.3 - 0.8 = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la intersección representa los elementos comunes a ambos sucesos. Si restamos la intersección en la fórmula de la unión es para no contar dos veces la parte común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.5}$$

Para facilitar los siguientes apartados, podemos construir una **tabla de contingencia** con los datos que ya tenemos. Sabemos que $P(A)=0.7$, $P(B)=0.6$ y acabamos de hallar $P(A \cap B)=0.5$. Completamos el resto restando del total (que siempre es 1): $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.5 & 0.2 & 0.7 \\ \bar{A} & 0.1 & 0.2 & 0.3 \\ \hline \text{Total} & 0.6 & 0.4 & 1.0 \end{array}$$ Donde: - $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.7 - 0.5 = 0.2$ - $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.5 = 0.1$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$ - $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{B}) - P(A \cap \bar{B}) = 0.4 - 0.2 = 0.2$

**b) (0.75 puntos) No ocurra ni $A$ ni $B$.** Este suceso se denota como $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. Según las **Leyes de De Morgan**, la intersección de los complementarios es igual al complementario de la unión: $$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$$ Por tanto: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Sustituimos el valor de la unión dado en el enunciado: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.8 = 0.2$$ (Este valor también coincide con el calculado en nuestra tabla de contingencia). 💡 **Tip:** "Ni A ni B" es lo mismo que decir "lo contrario de que ocurra al menos uno de los dos". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.2}$$

**c) (0.5 puntos) Ocurra $A$ pero no $B$.** Este suceso se denota como $P(A \cap \bar{B})$ (ocurre A y ocurre el complementario de B). Podemos calcularlo restando la parte común (intersección) de la probabilidad total de $A$: $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$P(A \cap \bar{B}) = 0.7 - 0.5 = 0.2$$ 💡 **Tip:** Visualmente, si imaginas un diagrama de Venn, esto equivale a la "luna" de A quitándole el trozo que comparte con B. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap \bar{B}) = 0.2}$$

**d) (0.5 puntos) Ocurra $A$ sabiendo que no ha ocurrido $B$.** Se trata de una **probabilidad condicionada**, que se denota como $P(A | \bar{B})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(A | \bar{B}) = \frac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}$$ Primero calculamos el denominador (probabilidad de que no ocurra B): $$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4$$ Ahora sustituimos los valores obtenidos en los pasos anteriores: $$P(A | \bar{B}) = \frac{0.2}{0.4} = \frac{2}{4} = 0.5$$ 💡 **Tip:** En la probabilidad condicionada, el suceso que "sabemos que ha ocurrido" pasa a ser nuestro nuevo espacio muestral (el denominador). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | \bar{B}) = 0.5}$$