Probabilidad y Estadística 2022 Andalucia
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes: Test de alcoholemia
EJERCICIO 6
El porcentaje de conductores que consumen alcohol durante la madrugada del sábado es del 5%. La policía realiza controles de alcoholemia mediante un test del que se sabe que da positivo en un 96% si la persona ha bebido alcohol y en un 10% si la persona no ha bebido alcohol.
Elegido al azar un conductor en la madrugada del sábado y realizado este test de alcoholemia, halle la probabilidad de que:
a) (1.25 puntos) Si el test da positivo, el conductor haya consumido alcohol.
b) (0.5 puntos) El test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol.
c) (0.75 puntos) Si el test ha dado negativo, el conductor no haya consumido alcohol.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información:
- $A$: El conductor ha consumido alcohol.
- $\bar{A}$: El conductor no ha consumido alcohol.
- $+$: El test de alcoholemia da positivo.
- $-$: El test de alcoholemia da negativo.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(A) = 0.05$ (el 5% consumen alcohol).
- $P(\bar{A}) = 1 - 0.05 = 0.95$ (el 95% no consumen alcohol).
- $P(+|A) = 0.96$ (probabilidad de positivo si ha bebido).
- $P(-|A) = 1 - 0.96 = 0.04$ (probabilidad de negativo si ha bebido).
- $P(+|\bar{A}) = 0.10$ (probabilidad de positivo si no ha bebido).
- $P(-|\bar{A}) = 1 - 0.10 = 0.90$ (probabilidad de negativo si no ha bebido).
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Apartado a): Probabilidad de haber bebido dado un positivo
**a) (1.25 puntos) Si el test da positivo, el conductor haya consumido alcohol.**
Nos piden calcular la probabilidad condicionada $P(A|+)$. Para ello utilizaremos el **Teorema de Bayes**.
Primero calculamos la probabilidad total de dar positivo $P(+)$:
$$P(+) = P(A \cap +) + P(\bar{A} \cap +)$$
$$P(+) = P(A) \cdot P(+|A) + P(\bar{A}) \cdot P(+|\bar{A})$$
$$P(+) = 0.05 \cdot 0.96 + 0.95 \cdot 0.10 = 0.048 + 0.095 = 0.143$$
Ahora aplicamos Bayes:
$$P(A|+) = \frac{P(A \cap +)}{P(+)} = \frac{0.05 \cdot 0.96}{0.143} = \frac{0.048}{0.143} \approx 0.3357$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición: si conocemos $P(+|A)$, podemos hallar $P(A|+)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|+) \approx 0.3357}$$
Paso 3
Apartado b): Probabilidad de test negativo y no haber bebido
**b) (0.5 puntos) El test dé negativo y el conductor no haya consumido alcohol.**
En este caso nos piden la probabilidad de la intersección de dos sucesos: que el test sea negativo **y** que el conductor no haya bebido, es decir, $P(-\cap \bar{A})$.
Utilizamos la definición de probabilidad compuesta siguiendo la rama correspondiente del árbol:
$$P(-\cap \bar{A}) = P(\bar{A}) \cdot P(-|\bar{A})$$
$$P(-\cap \bar{A}) = 0.95 \cdot 0.90 = 0.855$$
💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la probabilidad de la intersección de los sucesos de una rama es el producto de las probabilidades a lo largo de dicha rama.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(-\cap \bar{A}) = 0.855}$$
Paso 4
Apartado c): Probabilidad de no haber bebido dado un negativo
**c) (0.75 puntos) Si el test ha dado negativo, el conductor no haya consumido alcohol.**
Nos piden la probabilidad condicionada $P(\bar{A}|-)$.
Calculamos primero la probabilidad total de dar negativo $P(-)$. Podemos hacerlo de dos formas:
1. Usando el suceso contrario: $P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0.143 = 0.857$.
2. Usando la probabilidad total: $P(-) = P(A) \cdot P(-|A) + P(\bar{A}) \cdot P(-|\bar{A}) = 0.05 \cdot 0.04 + 0.95 \cdot 0.90 = 0.002 + 0.855 = 0.857$.
Ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada:
$$P(\bar{A}|-) = \frac{P(\bar{A} \cap -)}{P(-)}$$
Utilizando el valor obtenido en el apartado anterior ($P(\bar{A} \cap -) = 0.855$):
$$P(\bar{A}|-) = \frac{0.855}{0.857} \approx 0.9977$$
💡 **Tip:** Es lógico que esta probabilidad sea muy alta, ya que si el test es negativo y la mayoría de la gente no bebe, es casi seguro que el conductor realmente no haya bebido.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{A}|-) \approx 0.9977}$$