Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Determine, con un nivel de confianza del 95%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de clientes de este taller que volverían a solicitar sus servicios.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 120$ - Número de respuestas afirmativas: $x = 96$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{96}{120} = 0.8$$ Calculamos su complementario, la proporción de respuestas negativas ($\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.8 = 0.2$$ 💡 **Tip:** En problemas de inferencia para la proporción, recuerda que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95$ 2. $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ 3. $\alpha/2 = 0.025$ Buscamos el valor en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.975$$ Mirando en la tabla, encontramos que para una probabilidad de $0.9750$, el valor de $z$ es exactamente $1.96$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Sustituimos los valores: $$IC = \left( 0.8 - 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{120}}, 0.8 + 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.8 \cdot 0.2}{120}} \right)$$ Calculamos el error cometido ($E$): $$E = 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.16}{120}} = 1.96 \cdot \sqrt{0.001333} \approx 1.96 \cdot 0.03651 = 0.07156$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.8 - 0.07156 = 0.72844$ - Extremo superior: $0.8 + 0.07156 = 0.87156$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.7284, 0.8716)}$$

**b) (1.25 puntos) Mediante una nueva muestra queremos estimar la proporción de clientes de ese taller que volverían a solicitar sus servicios con un error máximo del 5% y un nivel de confianza del 97%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral, ¿qué tamaño mínimo debe tener dicha muestra?** Datos para la nueva estimación: - Error máximo: $E = 0.05$ (es decir, el $5\%$) - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \Rightarrow \alpha = 0.03 \Rightarrow \alpha/2 = 0.015$ - Proporción mantenida: $\hat{p} = 0.8$ y $\hat{q} = 0.2$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, el valor de probabilidad $0.9850$ corresponde a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$

Partimos de la fórmula del error para despejar el tamaño de la muestra $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.8 \cdot 0.2}{(0.05)^2}$$ $$n = \frac{4.7089 \cdot 0.16}{0.0025} = \frac{0.753424}{0.0025} = 301.3696$$ 💡 **Tip:** El tamaño de la muestra debe ser un número entero. Como buscamos que el error sea **como máximo** del $5\%$, si el resultado tiene decimales, siempre debemos **redondear hacia arriba** al siguiente entero para garantizar que el error no supere el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 302 \text{ clientes}}$$