Probabilidad y Estadística 2022 Andalucia
Inferencia estadística: Intervalos de confianza y tamaño muestral
EJERCICIO 8
El consumo de energía eléctrica mensual por vivienda medido en kilovatios hora (kWh) sigue una distribución Normal con varianza $4225 \text{ (kWh)}^2$.
a) (1 punto) Se toma una muestra aleatoria de 100 viviendas, obteniéndose un consumo total de 26830 kWh. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar el consumo medio poblacional.
b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del 98%.
c) (0.5 puntos) Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es (224.08, 255.92). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra.
Paso 1
Identificación de los parámetros de la población
Antes de comenzar con los apartados, identificamos los datos de la población. El consumo de energía $X$ sigue una distribución Normal:
$$X \sim N(\mu, \sigma)$$
El enunciado nos da la varianza $\sigma^2 = 4225$. Para trabajar con la fórmula del intervalo de confianza, necesitamos la desviación típica $\sigma$:
$$\sigma = \sqrt{4225} = 65 \text{ kWh}$$
💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. No olvides las unidades en el contexto del problema.
Paso 2
Cálculo de la media muestral y el valor crítico para el 92%
**a) (1 punto) Se toma una muestra aleatoria de 100 viviendas, obteniéndose un consumo total de 26830 kWh. Calcule un intervalo de confianza al 92% para estimar el consumo medio poblacional.**
Primero, calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$) con el tamaño $n = 100$:
$$\bar{x} = \frac{\text{Consumo total}}{n} = \frac{26830}{100} = 268.3 \text{ kWh}$$
Ahora, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $92\%$ ($1 - \alpha = 0.92$):
1. $\alpha = 1 - 0.92 = 0.08$
2. $\alpha/2 = 0.04$
3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.04 = 0.96$.
Consultando la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$, vemos que para una probabilidad de $0.96$, el valor más cercano es $0.9599$, que corresponde a:
$$z_{\alpha/2} = 1.75$$
Paso 3
Construcción del intervalo de confianza al 92%
Utilizamos la fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional:
$$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$
Calculamos el error máximo admisible $E$:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.75 \cdot \frac{65}{\sqrt{100}} = 1.75 \cdot \frac{65}{10} = 1.75 \cdot 6.5 = 11.375$$
Sustituimos en el intervalo:
$$IC = (268.3 - 11.375, 268.3 + 11.375)$$
$$IC = (256.925, 279.675)$$
✅ **Resultado (Intervalo de confianza):**
$$\boxed{IC = (256.925, 279.675)}$$
Paso 4
Cálculo del valor crítico para el 98%
**b) (1 punto) Calcule el tamaño mínimo de la muestra necesario para estimar el consumo medio de energía eléctrica mensual por vivienda, con un error máximo de 5 kWh y con un nivel de confianza del 98%.**
Identificamos los nuevos datos:
- Error máximo $E = 5$
- Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.98$
- Desviación típica $\sigma = 65$
Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $98\%$:
1. $\alpha = 1 - 0.98 = 0.02$
2. $\alpha/2 = 0.01$
3. Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$.
En la tabla de la Normal, para $0.99$, el valor más próximo es $0.9901$, que corresponde a:
$$z_{\alpha/2} = 2.33$$
Paso 5
Determinación del tamaño mínimo de la muestra
Para hallar el tamaño de la muestra $n$, partimos de la fórmula del error:
$$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$
Sustituimos los valores:
$$n = \left( \frac{2.33 \cdot 65}{5} \right)^2 = (2.33 \cdot 13)^2 = (30.29)^2 = 917.4841$$
Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **máximo** 5 (a mayor $n$, menor error), debemos redondear siempre al entero superior.
💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo, en problemas de tamaño mínimo muestral siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea menor o igual al pedido.
✅ **Resultado (Tamaño mínimo):**
$$\boxed{n = 918 \text{ viviendas}}$$
Paso 6
Cálculo de la media muestral a partir del intervalo
**c) (0.5 puntos) Tras una campaña para incentivar el ahorro energético se toma una nueva muestra y el intervalo de confianza para el consumo medio que se obtiene es (224.08, 255.92). Calcule la media del consumo de energía eléctrica mensual por vivienda para dicha muestra.**
El intervalo de confianza para la media siempre es simétrico respecto a la media muestral $\bar{x}$. Esto significa que $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el centro del intervalo.
Podemos calcularlo sumando los extremos y dividiendo entre 2:
$$\bar{x} = \frac{224.08 + 255.92}{2} = \frac{480}{2} = 240 \text{ kWh}$$
💡 **Tip:** En cualquier intervalo de confianza $(a, b)$, la media muestral es el punto medio: $\bar{x} = \frac{a+b}{2}$.
✅ **Resultado (Media muestral):**
$$\boxed{\bar{x} = 240 \text{ kWh}}$$