Optimización de la producción de juguetes (Programación Lineal)

Lo primero que debemos hacer en un problema de programación lineal es identificar qué es lo que queremos calcular. En este caso, nos piden el número de juegos de ajedrez y dominó. Definimos las variables: - $x$: número de juegos de ajedrez fabricados diariamente. - $y$: número de juegos de dominó fabricados diariamente. Como estamos hablando de objetos físicos, estas variables deben ser números enteros no negativos: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$

Traducimos el enunciado a lenguaje algebraico para formar el sistema de inecuaciones (restricciones) y la función de ganancia. **1. Restricción de madera:** Cada ajedrez usa 2kg y cada dominó 1kg. El máximo son 7kg: $$2x + y \le 7$$ **2. Restricción de tiempo:** Cada ajedrez requiere 4h y cada dominó 1h. El máximo son 9h: $$4x + y \le 9$$ **3. Restricción de producción mínima:** Al menos se deben hacer 3 juegos en total: $$x + y \ge 3$$ **Función Objetivo (Ganancia $G$):** Queremos maximizar el beneficio por ventas: $$G(x, y) = 40x + 15y$$ 💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla ayuda a no olvidar ninguna restricción.

La región factible es la zona del plano que cumple todas las restricciones. Para hallarla, primero representamos las rectas asociadas a las inecuaciones y calculamos sus puntos de corte. Las rectas son: - $r_1: 2x + y = 7$ - $r_2: 4x + y = 9$ - $r_3: x + y = 3$ Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de dos en dos: **Vértice A (Cruce de $r_3$ con el eje $y$, donde $x=0$):** $0 + y = 3 \implies y = 3$. El punto es **$A(0, 3)$**. Comprobamos si cumple las demás: $2(0)+3 \le 7$ (Sí) y $4(0)+3 \le 9$ (Sí). **Vértice B (Cruce de $r_1$ con el eje $y$, donde $x=0$):** $2(0) + y = 7 \implies y = 7$. El punto es **$B(0, 7)$**. Comprobamos si cumple $r_2$: $4(0)+7 \le 9$ (Sí) y $r_3$: $0+7 \ge 3$ (Sí). **Vértice C (Intersección $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 4x + y = 9 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(4x - 2x) = 9 - 7 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Sustituyendo en la primera: $2(1) + y = 7 \implies y = 5$. El punto es **$C(1, 5)$**. **Vértice D (Intersección $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 4x + y = 9 \\ x + y = 3 \end{cases}$$ Restando: $3x = 6 \implies x = 2$. Sustituyendo: $2 + y = 3 \implies y = 1$. El punto es **$D(2, 1)$**.

A continuación, se muestra la región factible delimitada por los vértices calculados. Cualquier punto dentro de esta zona sombreada cumple con las condiciones de madera, tiempo y producción mínima.

Evaluamos la función de ganancia $G(x, y) = 40x + 15y$ en cada uno de los vértices hallados para encontrar el valor máximo: - En $A(0, 3): G(0, 3) = 40(0) + 15(3) = 45€$ - En $B(0, 7): G(0, 7) = 40(0) + 15(7) = 105€$ - En **$C(1, 5)$**: $G(1, 5) = 40(1) + 15(5) = 40 + 75 = 115€$ - En $D(2, 1): G(2, 1) = 40(2) + 15(1) = 80 + 15 = 95€$ El valor máximo se alcanza en el punto $(1, 5)$, lo que significa fabricar **1 ajedrez y 5 dominós**. 💡 **Tip:** En programación lineal, si la región factible es acotada, el máximo (o mínimo) siempre se encontrará en uno de los vértices del polígono. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Deben fabricarse 1 ajedrez y 5 dominós para obtener una ganancia máxima de 115€.}}$$