Ecuaciones matriciales y parámetros

**a) (1.5 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A^t \cdot X - A \cdot X = 3I_3$.** En primer lugar, observamos que la matriz $X$ aparece multiplicando por la derecha en ambos términos del lado izquierdo. Podemos extraer factor común utilizando la propiedad distributiva: $$(A^t - A) \cdot X = 3I_3$$ Para resolver esta ecuación, llamaremos $M$ a la matriz resultante de $A^t - A$. Calculamos $A^t$ (la traspuesta de $A$, intercambiando filas por columnas): $$A^t = \begin{pmatrix} 7 & 3 & -5 \\ -6 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la resta $M = A^t - A$: $$M = \begin{pmatrix} 7 & 3 & -5 \\ -6 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 & -6 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \\ -5 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 9 & -3 \\ -9 & 0 & -4 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para extraer factor común en matrices, la matriz debe estar siempre en el mismo lado (en este caso, a la derecha): $AX - BX = (A-B)X$.

Para despejar $X$ en la ecuación $M \cdot X = 3I_3$, la matriz $M$ debería ser invertible. Vamos a calcular su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & 9 & -3 \\ -9 & 0 & -4 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|M| = [0 + 9 \cdot (-4) \cdot 3 + (-3) \cdot (-9) \cdot 4] - [(-3) \cdot 0 \cdot 3 + 9 \cdot (-9) \cdot 0 + 0 \cdot (-4) \cdot 4]$$ $$|M| = [0 - 108 + 108] - [0 + 0 + 0] = 0$$ Como el determinante de $M$ es **0**, la matriz $M$ **no tiene inversa**. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz que acompaña a la incógnita es cero, no podemos multiplicar por la inversa. Debemos comprobar si la ecuación tiene soluciones de otro modo o si es imposible.

Analizamos la ecuación $M \cdot X = 3I_3$. Si existiera una matriz $X$ que cumpliera la igualdad, se debería cumplir la propiedad de los determinantes: $|M \cdot X| = |3I_3|$. Sabemos que: 1. $|M \cdot X| = |M| \cdot |X| = 0 \cdot |X| = 0$. 2. $|3I_3| = 3^3 \cdot |I_3| = 27 \cdot 1 = 27$. Llegamos a la conclusión de que $0 = 27$, lo cual es una **contradicción**. Por lo tanto, no existe ninguna matriz $X$ que satisfaga la ecuación. 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz de orden $n$, $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$. Aquí $n=3$ y $k=3$, por lo que el determinante de $3I_3$ es $3^3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe solución para la ecuación matricial}}$$

**b) (1 punto) ¿Existe algún valor del parámetro $a$ para el que se verifique $C^t \cdot D = B$? En caso afirmativo, calcule dicho valor.** Primero calculamos $C^t$ (traspuesta de $C$): $$C^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora planteamos el producto $C^t \cdot D$: $$C^t \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot a^2 - 2 \cdot 1, \quad 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1), \quad 1 \cdot (-1) - 2 \cdot a) = (a^2 - 2, \quad 2, \quad -1 - 2a)$ - Fila 2: $(2 \cdot a^2 - 3 \cdot 1, \quad 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1), \quad 2 \cdot (-1) - 3 \cdot a) = (2a^2 - 3, \quad 3, \quad -2 - 3a)$ - Fila 3: $(-1 \cdot a^2 + 0 \cdot 1, \quad -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1), \quad -1 \cdot (-1) + 0 \cdot a) = (-a^2, \quad 0, \quad 1)$ $$C^t \cdot D = \begin{pmatrix} a^2-2 & 2 & -1-2a \\ 2a^2-3 & 3 & -2-3a \\ -a^2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Igualamos la matriz resultante con la matriz $B$ proporcionada: $$\begin{pmatrix} a^2-2 & 2 & -1-2a \\ 2a^2-3 & 3 & -2-3a \\ -a^2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben coincidir. Esto nos genera un sistema de ecuaciones para $a$: 1. $a^2 - 2 = 2 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$ 2. $-1 - 2a = 3 \implies -2a = 4 \implies a = -2$ 3. $2a^2 - 3 = 5 \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$ 4. $-2 - 3a = 4 \implies -3a = 6 \implies a = -2$ 5. $-a^2 = -4 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$ Los elementos constantes ($2=2, 3=3, 0=0, 1=1$) ya coinciden. La única solución que satisface simultáneamente **todas** las ecuaciones es $a = -2$. 💡 **Tip:** Cuando una incógnita debe satisfacer varias ecuaciones, el valor buscado debe ser común a todas ellas. Si alguna ecuación diera un valor distinto, no habría solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2}$$