Optimización y análisis de beneficios en una empresa de fumigación

**a) (0.75 puntos) ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar al mes para que la empresa tenga beneficios?** Para que la empresa tenga beneficios, la función $B(x)$ debe ser mayor que cero ($B(x) \gt 0$). Además, el enunciado impone una restricción de dominio: la empresa no puede fumigar más de 10 hectáreas ($0 \le x \le 10$). Primero, buscamos los puntos de corte con el eje $X$ resolviendo la ecuación $B(x) = 0$: $$-x^2 + 16x - 48 = 0$$ Usamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(-1)(-48)}}{2(-1)}$$ $$x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 192}}{-2} = \frac{-16 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-16 \pm 8}{-2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{-16 + 8}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$ - $x_2 = \frac{-16 - 8}{-2} = \frac{-24}{-2} = 12$ Como la función es una parábola con las ramas hacia abajo ($a = -1 \lt 0$), el beneficio es positivo entre las dos raíces, es decir, en el intervalo $(4, 12)$. Sin embargo, debido a la restricción de personal ($x \le 10$), el intervalo válido para obtener beneficios es: 💡 **Tip:** Recuerda que para que haya beneficio real, $B(x)$ debe ser estrictamente mayor que 0. Si $B(x)=0$, la empresa ni gana ni pierde. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe fumigar entre 4 y 10 hectáreas: } (4, 10]}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Cuántas hectáreas tiene que fumigar para obtener el máximo beneficio mensual? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?** Para hallar el máximo, calculamos la derivada de la función de beneficios y la igualamos a cero: $$B'(x) = -2x + 16$$ $$-2x + 16 = 0 \implies 2x = 16 \implies x = 8$$ Comprobamos que es un máximo utilizando la segunda derivada o estudiando el signo de la primera derivada en el dominio restringido $[0, 10]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 8) & 8 & (8, 10] \\\hline B'(x) & + & 0 & - \\ B(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ El máximo se alcanza fumigando **8 hectáreas**. Para calcular el beneficio máximo, sustituimos $x = 8$ en la función original: $$B(8) = -(8)^2 + 16(8) - 48 = -64 + 128 - 48 = 16$$ Como el beneficio viene dado en miles de euros: $$16 \cdot 1000 = 16000\text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } 8 \text{ hectáreas con un beneficio de } 16000\text{ €}}$$

**c) (1 punto) Si un mes ha obtenido un beneficio de 7000€, ¿cuántas hectáreas ha fumigado?** Dado que $B(x)$ está en miles de euros, 7000€ corresponden a $B(x) = 7$. Resolvemos la ecuación: $$-x^2 + 16x - 48 = 7$$ $$-x^2 + 16x - 48 - 7 = 0 \implies -x^2 + 16x - 55 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(-1)(-55)}}{2(-1)} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 220}}{-2}$$ $$x = \frac{-16 \pm \sqrt{36}}{-2} = \frac{-16 \pm 6}{-2}$$ Obtenemos dos posibles valores para $x$: - $x_1 = \frac{-16 + 6}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$ - $x_2 = \frac{-16 - 6}{-2} = \frac{-22}{-2} = 11$ Dado que la empresa tiene una restricción de personal y no puede fumigar más de 10 hectáreas ($x \le 10$), descartamos la solución $x = 11$. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos verificar si nuestras soluciones matemáticas cumplen las restricciones del enunciado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Ha fumigado 5 hectáreas}}$$