Estudio de una función a trozos: derivabilidad, extremos e integración

**a) (1 punto) ¿Para qué valores de $a$ y $b$ la función es continua y derivable en $x = 1$?** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben coincidir con el valor de la función en dicho punto: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$. 1. **Valor de la función:** $f(1) = a(1)^2 + b(1) + 1 = a + b + 1$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} (ax^2 + bx + 1) = a + b + 1.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} \frac{2}{x} = \frac{2}{1} = 2.$$ Igualamos para obtener la primera ecuación: $$a + b + 1 = 2 \implies \mathbf{a + b = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable, primero debe ser obligatoriamente continua. Si no hay continuidad, hay un salto y la derivada no puede existir en ese punto.

Para que sea derivable, las derivadas laterales en $x = 1$ deben ser iguales ($f'(1^-) = f'(1^+)$). Calculamos primero la derivada genérica de las ramas: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + b & \text{si } x < 1 \\ -\frac{2}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ 1. **Derivada lateral izquierda:** $f'(1^-) = 2a(1) + b = 2a + b$. 2. **Derivada lateral derecha:** $f'(1^+) = -\frac{2}{(1)^2} = -2$. Igualamos para obtener la segunda ecuación: $$\mathbf{2a + b = -2}$$ Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 2a + b = -2 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $(2a - a) + (b - b) = -2 - 1 \implies a = -3$. Sustituimos $a$ en la primera: $-3 + b = 1 \implies b = 4$. ✅ **Resultado (valores de parámetros):** $$\boxed{a = -3, \; b = 4}$$

**b) (0.75 puntos) Para $a = -3$ y $b = 4$, calcule los extremos relativos de $f$.** Con estos valores, la función y su derivada son: $$f(x) = \begin{cases} -3x^2 + 4x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases} \implies f'(x) = \begin{cases} -6x + 4 & \text{si } x < 1 \\ -\frac{2}{x^2} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: 1. **Rama $x < 1$:** $-6x + 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Como $\frac{2}{3} < 1$, es un punto crítico válido. 2. **Rama $x > 1$:** $-\frac{2}{x^2} = 0$. Esta ecuación no tiene solución (una fracción solo es cero si el numerador lo es). 3. **Punto $x = 1$:** Ya sabemos por el apartado anterior que la función es derivable en $x = 1$ y $f'(1) = -2 \neq 0$. 💡 **Tip:** Los extremos relativos solo pueden ocurrir donde la derivada es cero o donde la función no es derivable (puntos angulosos).

Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = 2/3$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2/3) & 2/3 & (2/3, 1) & 1 & (1, +\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & -2 & - \end{array}$$ - En $(-\infty, 2/3)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = 4 > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(2/3, 1)$, tomamos $x=0.8$: $f'(0.8) = -6(0.8) + 4 = -0.8 < 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(1, +\infty)$, la derivada $-2/x^2$ siempre es negativa $\implies$ **Decreciente**. Al pasar de crecer a decrecer en $x = 2/3$, existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $f(2/3) = -3(2/3)^2 + 4(2/3) + 1 = -3(4/9) + 8/3 + 1 = -4/3 + 8/3 + 3/3 = 7/3$. ✅ **Resultado (extremos relativos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right)}$$ No existen mínimos relativos.

**c) (0.75 puntos) Para $a = -2$ y $b = 3$, calcule el valor de la integral $\int_{-1}^{3} f(x) dx$.** Para $a = -2$ y $b = 3$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} -2x^2 + 3x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Como el intervalo de integración $[-1, 3]$ contiene al punto de salto $x=1$, debemos dividir la integral en dos partes: $$\int_{-1}^{3} f(x) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^2 + 3x + 1) dx + \int_{1}^{3} \frac{2}{x} dx$$ 💡 **Tip:** La propiedad de aditividad del intervalo de integración dice que $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ para cualquier punto $b$ dentro del intervalo.

Calculamos cada parte por separado: 1. **Primera parte:** $$\int_{-1}^{1} (-2x^2 + 3x + 1) dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1}$$ $$= \left( -\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + \frac{3(-1)^2}{2} + (-1) \right)$$ $$= \left( \frac{-4+9+6}{6} \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 1 \right) = \frac{11}{6} - \left( \frac{4+9-6}{6} \right) = \frac{11}{6} - \frac{7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$ 2. **Segunda parte:** $$\int_{1}^{3} \frac{2}{x} dx = [2\ln|x|]_{1}^{3} = 2\ln(3) - 2\ln(1) = 2\ln(3) - 0 = 2\ln(3).$$ Sumamos ambos resultados: $$\int_{-1}^{3} f(x) dx = \frac{2}{3} + 2\ln(3)$$ ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{\frac{2}{3} + 2\ln(3) \approx 2.864}$$