Probabilidad con dados: El juego de Juan

**a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane lanzando una sola vez los dos dados?** Al lanzar dos dados de seis caras, el espacio muestral $E$ está formado por $6 \times 6 = 36$ resultados posibles, todos con la misma probabilidad ($1/36$). Sea $S$ la variable que representa la suma de las puntuaciones de los dos dados. Juan gana en el primer lanzamiento si se cumple el suceso $G_1$: "la suma es 2 o la suma es mayor que 7". Calculamos cuántos casos favorables hay para cada suma: - Suma = 2: $\{(1,1)\} \to$ **1 caso**. - Suma > 7: - Suma = 8: $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\} \to$ **5 casos**. - Suma = 9: $\{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\} \to$ **4 casos**. - Suma = 10: $\{(4,6), (5,5), (6,4)\} \to$ **3 casos**. - Suma = 11: $\{(5,6), (6,5)\} \to$ **2 casos**. - Suma = 12: $\{(6,6)\} \to$ **1 caso**. Sumamos los casos favorables para $G_1$: $1 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16$ casos. Aplicando la regla de Laplace: $$P(G_1) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{16}{36}$$ Simplificamos dividiendo entre 4: $$P(G_1) = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ 💡 **Tip:** En problemas de dos dados, es útil recordar que el número de casos posibles es siempre $6^2=36$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G_1) = \frac{4}{9}}$$

Para resolver los siguientes apartados, definimos los sucesos: - $G_1$: Ganar en el 1er lanzamiento ($S=2$ o $S \gt 7$). - $\overline{G_1}$: No ganar en el 1er lanzamiento y pasar al 2º. - $G_2$: Ganar en el 2º lanzamiento ($S \gt 9$). Calculamos $P(\overline{G_1}) = 1 - P(G_1) = 1 - \frac{16}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$. Para el segundo lanzamiento, Juan gana si la suma es mayor que 9 ($S=10, 11, 12$): - Casos favorables: $\{(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)\} \to$ **6 casos**. - $P(G_2 | \overline{G_1}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

**b) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane en la segunda oportunidad?** Para que Juan gane en la segunda oportunidad, debe ocurrir que no gane en la primera **Y** que gane en la segunda. Es decir, buscamos la probabilidad de la intersección: $P(\overline{G_1} \cap G_2)$. Usando la probabilidad condicionada: $$P(\overline{G_1} \cap G_2) = P(\overline{G_1}) \cdot P(G_2 | \overline{G_1})$$ Sustituimos los valores obtenidos anteriormente: $$P(\overline{G_1} \cap G_2) = \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{6}$$ $$P(\overline{G_1} \cap G_2) = \frac{5}{54} \approx 0.0926$$ 💡 **Tip:** "Ganar en la segunda oportunidad" implica obligatoriamente haber fallado la primera, por eso multiplicamos ambas probabilidades siguiendo la rama del árbol. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{Gane 2ª op.}) = \frac{5}{54}}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane?** Juan puede ganar de dos formas excluyentes: ganando en el primer lanzamiento o llegando al segundo y ganando en él. $$P(G) = P(G_1) + P(\overline{G_1} \cap G_2)$$ Utilizamos los resultados de los apartados anteriores: $$P(G) = \frac{4}{9} + \frac{5}{54}$$ Para sumar las fracciones, buscamos el común denominador ($54$): $$P(G) = \frac{24}{54} + \frac{5}{54} = \frac{29}{54} \approx 0.5370$$ 💡 **Tip:** La probabilidad total es la suma de las probabilidades de todas las ramas del árbol que terminan en "Gana". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G) = \frac{29}{54}}$$