Estimación de la proporción de presbicia e intervalo de confianza

**a) (1.5 puntos) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97%, para estimar la proporción poblacional de personas mayores de 45 años con presbicia en dicha ciudad.** Primero, extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Tamaño de la muestra: $n = 540$ - Personas con presbicia en la muestra: $x = 378$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ y su complementario $\hat{q}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{378}{540} = 0.7$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el porcentaje de la muestra que cumple la característica estudiada. Es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional.

Para un nivel de confianza del $97\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Determinamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. Calculamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0.015$ 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.985$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central bajo la curva normal. El valor crítico delimita esa zona central para que deje fuera un área de $\alpha$ repartida en dos colas.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{540}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{540}}$$ $$E \approx 2.17 \cdot 0.01972 = 0.04279$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (0.7 - 0.04279, \quad 0.7 + 0.04279)$$ $$I.C. = (0.65721, \quad 0.74279)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.6572, \quad 0.7428)}$$

**b) (1 punto) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuántas personas se deberán seleccionar como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 3%?** Que la proporción muestral difiera de la poblacional "a lo sumo en un 3%" significa que el error máximo admisible debe ser $E \le 0.03$. Datos que se mantienen: - $\hat{p} = 0.7$ - $\hat{q} = 0.3$ - $z_{\alpha/2} = 2.17$ - Nuevo error: $E = 0.03$ La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$n = \frac{(z_{\alpha/2})^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$

Sustituimos los valores en la fórmula despejada: $$n = \frac{(2.17)^2 \cdot 0.7 \cdot 0.3}{(0.03)^2}$$ $$n = \frac{4.7089 \cdot 0.21}{0.0009}$$ $$n = \frac{0.988869}{0.0009} \approx 1098.74$$ Como el número de personas debe ser un número entero y buscamos el tamaño *mínimo* para no superar ese error, debemos redondear siempre al siguiente número entero hacia arriba. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, siempre redondeamos al entero superior, incluso si la parte decimal es pequeña, para garantizar que el error sea menor o igual al solicitado. ✅ **Resultado (Tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 1099 \text{ personas}}$$