Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.5 puntos) Halle un intervalo de confianza para el peso medio de las tortugas con un nivel de confianza del 97%.** Primero, extraemos los datos del enunciado sobre la variable $X$: "peso en gramos de las tortugas". - La población sigue una distribución Normal $N(\mu, \sigma)$. - Nos dan la varianza: $\sigma^2 = 121\text{g}^2$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{121} = 11\text{g}$. - El tamaño de la muestra es $n = 10$. Calculamos la **media muestral ($\bar{x}$)** sumando los pesos y dividiendo por el número de tortugas: $$\bar{x} = \frac{980 + 1002 + 950 + 985 + 1100 + 1085 + 895 + 1000 + 912 + 1006}{10} = \frac{9915}{10} = 991.5\text{g}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si te dan la varianza ($\sigma^2$), siempre debes calcular la raíz cuadrada para obtener la desviación típica ($\sigma$), que es la que se usa en las fórmulas de inferencia.

Para un nivel de confianza del **97%**, tenemos: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015.$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.985$ es: $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 2.17}.$$ 💡 **Tip:** El valor crítico delimita el área central de la campana de Gauss que corresponde al nivel de confianza deseado.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el **error máximo admitido ($E$)**: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{11}{\sqrt{10}} = 2.17 \cdot \frac{11}{3.1622} \approx 2.17 \cdot 3.4785 = 7.54835.$$ Ahora, calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $991.5 - 7.54835 = 983.95165$ - Límite superior: $991.5 + 7.54835 = 999.04835$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (983.95, 999.05)}$$

**b) (1 punto) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para asegurar con un nivel de confianza del 94% que el error máximo cometido sea de 5g?** Para este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $94\% \implies 1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.03.$ - Error máximo permitido: $E = 5\text{g}$. - Desviación típica (se mantiene): $\sigma = 11\text{g}$. Buscamos el nuevo $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97.$$ Mirando en la tabla de la Normal: El valor más cercano a $0.97$ es $0.9699$, que corresponde a $z = 1.88$. $$\mathbf{z_{\alpha/2} = 1.88}.$$ 💡 **Tip:** En el cálculo de tamaños muestrales, si el valor de probabilidad no es exacto en la tabla, solemos tomar el más próximo o interpolar.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{1.88 \cdot 11}{5} \right)^2 = \left( \frac{20.68}{5} \right)^2 = (4.136)^2 = 17.106496.$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debe garantizar que el error no supere los $5\text{g}$, debemos **redondear siempre al alza**. $n \ge 17.106 \implies n = 18$. ✅ **Resultado (Tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 18 \text{ tortugas}}$$