Sistemas de ecuaciones con parámetros y cálculo matricial

**a.- (3 puntos) Exprese el sistema anterior en forma matricial ($AX = B$) y determine el valor(es) del parámetro $m$ para que el sistema sea compatible determinado.** Primero escribimos el sistema asegurándonos de que todas las incógnitas ($x, y, z$) estén alineadas: $$\begin{cases} (m + 1)x + 0y + 0z = m - 2 \\ 2x + 1y + 0z = -3 \\ 3x - 2y + mz = -8 \end{cases}$$ La forma matricial $AX = B$ se compone de: - La matriz de coeficientes $A$. - La matriz de incógnitas $X$. - La matriz de términos independientes $B$. $$\begin{pmatrix} m+1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-2 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para pasar a forma matricial, los coeficientes de las incógnitas que no aparecen en una ecuación se deben rellenar con ceros.

Para que el sistema sea **Compatible Determinado (SCD)**, el rango de la matriz $A$ debe ser igual al número de incógnitas ($n=3$). Según el Teorema de Rouché-Frobenius, esto ocurre cuando el determinante de $A$ es distinto de cero. Calculamos $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} m+1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & m \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular inferior (o desarrollando por la primera fila): $$|A| = (m+1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & m \end{vmatrix} = (m+1)(1 \cdot m - 0) = m(m+1)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m(m+1) = 0 \implies m = 0, \quad m = -1$$ ✅ **Resultado (SCD):** El sistema es **Compatible Determinado** para todos los valores de $m$ tales que: $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}}$$

**b.- (3 puntos) ¿Existe algún valor del valor del parámetro $m$ para que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, resuelva el sistema.** Para que sea **Compatible Indeterminado (SCI)**, debe cumplirse que $rg(A) = rg(A^*) < 3$. Probamos con los valores que hacían $|A|=0$. **Caso $m = 0$:** La matriz ampliada $A^*$ es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -3 \\ 3 & -2 & 0 & -8 \end{array}\right)$$ - El $rg(A) = 2$ ya que el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. - Calculamos el $rg(A^*)$ analizando el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -2 & -8 \end{vmatrix} = [1(-8) + 0 + (-2)(-4)] - [3(1)(-2) + (-2)(-3)(1) + 0]$$ $$= [-8 + 8] - [-6 + 6] = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $rg(A^*) = 2$. Al ser $rg(A) = rg(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado** para $m=0$.

Para resolverlo, usamos las dos primeras ecuaciones que son linealmente independientes y tomamos $z = \lambda$ como parámetro: 1) $x = -2$ 2) $2x + y = -3 \implies 2(-2) + y = -3 \implies -4 + y = -3 \implies y = 1$ 3) $z = \lambda$ (Comprobamos en la 3ª ecuación: $3(-2) - 2(1) + 0(\lambda) = -6 - 2 = -8$. Es coherente). ✅ **Resultado (SCI):** Existe para **$m = 0$** y la solución es: $$\boxed{\begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

Veamos si para $m = -1$ también podría ser SCI: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 0 & -3 \\ 2 & 1 & 0 & -3 \\ 3 & -2 & -1 & -8 \end{array}\right)$$ En la primera fila observamos la ecuación: $0x + 0y + 0z = -3$, lo cual es **imposible** ($0 = -3$). Por tanto, para $m = -1$, el sistema es **Incompatible**. Conclusión: El único valor para el que el sistema es SCI es $m=0$.

**c.- (4 puntos) Para $m = 1$, calcule $X = A^{-1}B$, siendo $A, B$ las matrices del apartado a.-.** Sustituimos $m = 1$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1-2 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix}$$ Calculamos $|A|$ para $m=1$: $|A| = 1(1+1) = 2$. Calculamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -7$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 4$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -7 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \implies Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -7 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -7 & 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -7/2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. No olvides trasponer la matriz de adjuntos.

Multiplicamos la inversa por la matriz de términos independientes: $$X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -7/2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -8 \end{pmatrix}$$ Operamos fila a fila: $x = (1/2)(-1) + 0(-3) + 0(-8) = -1/2$ $y = (-1)(-1) + 1(-3) + 0(-8) = 1 - 3 = -2$ $z = (-7/2)(-1) + 2(-3) + 1(-8) = 7/2 - 6 - 8 = 7/2 - 14 = \frac{7 - 28}{2} = -21/2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1/2 \\ -2 \\ -21/2 \end{pmatrix}}$$