Programación Lineal: Inversión en Criptomonedas y Fondos

**a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita determinar cómo debe invertir Fernanda sus ahorros para obtener la máxima rentabilidad.** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: Cantidad de euros invertidos en criptomonedas. - $y$: Cantidad de euros invertidos en fondos de inversión. La función objetivo a maximizar es la rentabilidad total, que llamaremos $R(x, y)$: $$R(x, y) = 0,30x + 0,05y$$ Ahora, extraemos las restricciones del enunciado: 1. **Capital total:** No puede invertir más de lo que tiene: $x + y \le 10.000$ 2. **Equilibrio de riesgo:** Invierte en fondos tanto o más que en criptos: $y \ge x$ 3. **Límites de criptomonedas:** Entre 1.000€ y 3.000€: $1.000 \le x \le 3.000$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ (ya implícitas en la restricción anterior). 💡 **Tip:** En programación lineal, siempre es fundamental definir claramente qué representan $x$ e $y$ y escribir la función objetivo con sus respectivos coeficientes decimales (30% = 0,30). $$\boxed{\begin{aligned} \text{Maximizar } & R(x, y) = 0,3x + 0,05y \\ \text{Sujeto a: } & x + y \le 10.000 \\ & y \ge x \\ & 1.000 \le x \le 3.000 \\ & x, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b.- (5 puntos) Resuelva el problema y calcule la rentabilidad máxima conseguida con la inversión.** Para resolver el problema, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones para encontrar la región factible: - $r_1: x + y = 10.000 \implies$ pasa por $(0, 10.000)$ y $(10.000, 0)$. - $r_2: y = x \implies$ bisectriz del primer cuadrante. - $r_3: x = 1.000 \implies$ recta vertical. - $r_4: x = 3.000 \implies$ recta vertical. Calculamos los vértices de la región intersección: - **Vértice A:** Intersección de $x = 1.000$ e $y = x$. $x=1.000, y=1.000 \implies \mathbf{A(1.000, 1.000)}$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 3.000$ e $y = x$. $x=3.000, y=3.000 \implies \mathbf{B(3.000, 3.000)}$ - **Vértice C:** Intersección de $x = 3.000$ y $x + y = 10.000$. $3.000 + y = 10.000 \implies y = 7.000 \implies \mathbf{C(3.000, 7.000)}$ - **Vértice D:** Intersección de $x = 1.000$ y $x + y = 10.000$. $1.000 + y = 10.000 \implies y = 9.000 \implies \mathbf{D(1.000, 9.000)}$

Evaluamos la función objetivo $R(x, y) = 0,3x + 0,05y$ en cada vértice para hallar el máximo: - $R(A) = 0,3(1.000) + 0,05(1.000) = 300 + 50 = 350€$ - $R(B) = 0,3(3.000) + 0,05(3.000) = 900 + 150 = 1.050€$ - $R(C) = 0,3(3.000) + 0,05(7.000) = 900 + 350 = 1.250€$ - $R(D) = 0,3(1.000) + 0,05(9.000) = 300 + 450 = 750€$ El valor máximo se alcanza en el punto **$C(3.000, 7.000)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Rentabilidad Máxima: } 1.250€ \text{ invirtiendo 3.000€ en cripto y 7.000€ en fondos.}}$$

**c.- (2 puntos) Su gestor le dice que por la coyuntura económica actual el riesgo de inversión es del 35% para las criptomonedas y 0% para los fondos. Si Fernanda quisiera minimizar el riesgo de la inversión, justifica si invertir 1.000 euros en criptomonedas y 5.000 en fondos es una solución óptima (con las restricciones del enunciado).** La nueva función a minimizar es el riesgo $G(x, y)$: $$G(x, y) = 0,35x + 0y = 0,35x$$ Como el riesgo solo depende de $x$, para minimizarlo necesitamos el valor de $x$ más pequeño posible dentro de la región factible. Según nuestras restricciones: $1.000 \le x \le 3.000$. El valor mínimo es **$x = 1.000$**. Cualquier punto que tenga $x = 1.000$ y esté dentro de la región factible dará el riesgo mínimo ($0,35 \cdot 1.000 = 350$). Comprobamos si el punto $(1.000, 5.000)$ es factible: 1. $1.000 + 5.000 = 6.000 \le 10.000$ (Se cumple) 2. $y \ge x \implies 5.000 \ge 1.000$ (Se cumple) 3. $1.000 \le x \le 3.000 \implies 1.000 \le 1.000 \le 3.000$ (Se cumple) Como el punto es factible y tiene el valor mínimo posible de $x$, **sí es una solución óptima** para minimizar el riesgo. 💡 **Tip:** Cuando una función objetivo depende de una sola variable, el óptimo se encuentra en el borde de la región que minimiza/maximiza esa variable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, es una solución óptima porque es un punto factible con el valor mínimo de } x.}$$