Estudio de una función racional y optimización de ingresos

**a.- (2 puntos) Calcule el dominio y, si existen, las asíntotas verticales y horizontales.** La función dada es $f(x) = 50 + \frac{1-x}{100} + \frac{1}{1-x}$. Para hallar el dominio, debemos identificar los valores de $x$ que hacen que la función no esté definida. En este caso, tenemos una fracción cuyo denominador es $1-x$. La función no existirá cuando el denominador sea cero: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Por lo tanto, el dominio son todos los números reales excepto el $1$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida. Calculamos el límite cuando $x$ tiende a $1$: $$\lim_{x \to 1} \left( 50 + \frac{1-x}{100} + \frac{1}{1-x} \right) = 50 + 0 + \frac{1}{0} = \infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en la recta $x=1$. 💡 **Tip:** Si al calcular el límite en un punto conflictivo del dominio el resultado es $\pm\infty$, entonces existe una asíntota vertical en ese valor de $x$. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

Para buscar asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( 50 + \frac{1-x}{100} + \frac{1}{1-x} \right)$$ Analizando los términos por separado: - El término $\frac{1-x}{100} \to -\infty$ cuando $x \to +\infty$. - El término $\frac{1}{1-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$. Por lo tanto: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 50 - \infty + 0 = -\infty$$ De igual forma, cuando $x \to -\infty$, el límite será $+\infty$. Al no ser un valor finito, **no existen asíntotas horizontales**. ✅ **Resultado (Asíntotas Horizontales):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas horizontales}}$$

**b.- (5 puntos) Razone que $f(x)$ tiene dos extremos relativos, uno mínimo y otro máximo ¿El valor en el mínimo de la función es mayor o menor que el valor en el máximo?** Primero, derivamos la función $f(x) = 50 + \frac{1}{100} - \frac{x}{100} + (1-x)^{-1}$: $$f'(x) = 0 - \frac{1}{100} + (-1)(1-x)^{-2}(-1)$$ $$f'(x) = -\frac{1}{100} + \frac{1}{(1-x)^2}$$ Para hallar los extremos relativos, igualamos la derivada a cero: $$-\frac{1}{100} + \frac{1}{(1-x)^2} = 0 \implies \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{100}$$ $$(1-x)^2 = 100 \implies 1-x = \pm \sqrt{100} = \pm 10$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $1 - x = 10 \implies x = -9$ 2. $1 - x = -10 \implies x = 11$ 💡 **Tip:** Los extremos relativos siempre se encuentran entre los puntos donde la derivada es cero o no existe (siempre que el punto pertenezca al dominio).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos ($x=-9, x=11$) y el punto de discontinuidad ($x=1$): $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-9) & -9 & (-9,1) & 1 & (1,11) & 11 & (11,+\infty)\\\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + & 0 & - \\\\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \nexists & \nearrow & \max & \searrow \end{array} $$ Justificación del signo: - En $x=0 \in (-9, 1)$: $f'(0) = -0.01 + 1/1^2 = 0.99 > 0$ (crece). - En $x=12 \in (11, \infty)$: $f'(12) = -0.01 + 1/(-11)^2 = -0.01 + 1/121 < 0$ (decrece). Por tanto, en **$x = -9$ hay un mínimo relativo** y en **$x = 11$ hay un máximo relativo**.

Calculamos el valor de la función en cada extremo: Para el mínimo en $x = -9$: $$f(-9) = 50 + \frac{1-(-9)}{100} + \frac{1}{1-(-9)} = 50 + \frac{10}{100} + \frac{1}{10} = 50 + 0.1 + 0.1 = 50.2$$ Para el máximo en $x = 11$: $$f(11) = 50 + \frac{1-11}{100} + \frac{1}{1-11} = 50 + \frac{-10}{100} + \frac{1}{-10} = 50 - 0.1 - 0.1 = 49.8$$ Comparando los valores: $50.2 \gt 49.8$. ✅ **Resultado (Comparación):** $$\boxed{\text{El valor en el mínimo (50.2) es mayor que el valor en el máximo (49.8)}}$$

**c.- (3 puntos) Supongamos que $x$ representa el precio de venta de un kg de solomillo según la época del año, $x \in [5,21]$ euros por kilo, y $f(x)$ el ingreso diario de un mayorista (en cientos de euros) por la venta del producto ¿A qué precio debe vender para obtener el máximo ingreso? ¿A cuántos euros asciende dicho ingreso máximo?** Restringimos el estudio al intervalo $x \in [5, 21]$. Dentro de este intervalo, la función es continua ya que la asíntota vertical ($x=1$) queda fuera. En el paso anterior vimos que en $x=11$ hay un máximo relativo. Como la función crece en $(1, 11)$ y decrece en $(11, \infty)$, el valor en $x=11$ será el máximo absoluto del intervalo. Comprobamos los extremos del intervalo por seguridad: - $f(5) = 50 + \frac{-4}{100} + \frac{1}{-4} = 50 - 0.04 - 0.25 = 49.71$ - $f(21) = 50 + \frac{-20}{100} + \frac{1}{-20} = 50 - 0.2 - 0.05 = 49.75$ - $f(11) = 49.8$ El máximo ingreso se produce a un precio de **$x = 11$ euros/kg**. El ingreso es $f(11) = 49.8$ cientos de euros. Para pasarlo a euros multiplicamos por 100: $$\text{Ingreso} = 49.8 \times 100 = 4980 \text{ euros}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Precio: } 11 \text{ €/kg. Ingreso máximo: } 4980 \text{ €}}$$