Estudio de una función a partir de su derivada

**a.- (3 puntos) ¿En qué intervalo $f(x)$ es creciente? y ¿decreciente? Calcule los extremos relativos.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, analizamos el signo de su primera derivada: $f'(x) = x(x - 1)^2$. Primero, buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies x(x - 1)^2 = 0$$ Esto nos da dos posibles valores: 1. $x = 0$ 2. $(x - 1)^2 = 0 \implies x = 1$ Como el dominio de $f'(x)$ es todo $\mathbb{R}$, estos puntos dividen la recta real en tres intervalos para el estudio del signo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline x & - & 0 & + & + & + \\ (x-1)^2 & + & + & + & 0 & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un término elevado al cuadrado siempre es positivo o cero, por lo que el signo de $f'(x)$ en este caso depende principalmente del factor $x$.

A partir de la tabla anterior concluimos: - $f(x)$ es **decreciente** en el intervalo donde $f'(x) \lt 0$: $\boxed{(-\infty, 0)}$. - $f(x)$ es **creciente** en los intervalos donde $f'(x) \gt 0$: $(0, 1) \cup (1, +\infty)$. Dado que en $x=1$ la función es continua y la derivada solo se anula en un punto, podemos decir que es creciente en $\boxed{(0, +\infty)}$. **Extremos relativos:** - En $x = 0$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. - En $x = 1$, la función es creciente antes y después del punto (es un punto de inflexión con tangente horizontal), por lo que **no hay extremo relativo** en $x = 1$. Para calcular la ordenada del mínimo, necesitaremos la función $f(x)$ que hallaremos en el apartado c). Sabemos que $f(0) = 10$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 0) \quad \text{Creciente: } (0, +\infty) \quad \text{Mínimo relativo: } (0, 10)}$$

**b.- (4 puntos) ¿En qué intervalo es cóncava la gráfica de $f(x)$? ¿y convexa? Calcule los puntos de inflexión de $f(x)$.** Para estudiar la curvatura, necesitamos la segunda derivada $f''(x)$. Primero desarrollamos $f'(x)$: $$f'(x) = x(x - 1)^2 = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x$$ Ahora derivamos de nuevo: $$f''(x) = (x^3 - 2x^2 + x)' = 3x^2 - 4x + 1$$ Buscamos los puntos donde $f''(x) = 0$ para encontrar posibles puntos de inflexión: $$3x^2 - 4x + 1 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** En la mayoría de los temarios de Bachillerato, se define **convexa** (o cóncava hacia arriba) cuando $f''(x) \gt 0$ ($\cup$) y **cóncava** (o cóncava hacia abajo) cuando $f''(x) \lt 0$ ($\cap$).

Analizamos el signo de $f''(x) = 3x^2 - 4x + 1$ en los intervalos definidos por las raíces: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1/3) & 1/3 & (1/3, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Convexa } (\cup) & \text{P.I.} & \text{Cóncava } (\cap) & \text{P.I.} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ - La gráfica es **convexa** (hacia arriba) en: $\boxed{(-\infty, 1/3) \cup (1, +\infty)}$. - La gráfica es **cóncava** (hacia abajo) en: $\boxed{(1/3, 1)}$. **Puntos de Inflexión:** Existen puntos de inflexión donde cambia la curvatura, es decir, en $x = 1/3$ y en $x = 1$. Para obtener las coordenadas completas $(x, f(x))$, utilizaremos la expresión de $f(x)$ del apartado c): $f(1) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 10 = \frac{3 - 8 + 6 + 120}{12} = \frac{121}{12}$ $f(1/3) = \frac{(1/3)^4}{4} - \frac{2(1/3)^3}{3} + \frac{(1/3)^2}{2} + 10 = \frac{1}{324} - \frac{2}{81} + \frac{1}{18} + 10 = \frac{1 - 8 + 18 + 3240}{324} = \frac{3251}{324}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{P.I. en } x = \frac{1}{3} \text{ y } x = 1}$$

**c.- (3 puntos) Determine $f(x)$ sabiendo que $f(0) = 10$.** Para hallar $f(x)$ a partir de su derivada, calculamos la integral indefinida: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (x^3 - 2x^2 + x) \, dx$$ Aplicamos la regla de integración de potencias $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$: $$f(x) = \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$$ $$f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$$ Usamos la condición inicial $f(0) = 10$ para determinar el valor de la constante $C$: $$f(0) = \frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + C = 10 \implies C = 10$$ Por lo tanto, la función buscada es: $$\boxed{f(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 10}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca sumar la constante de integración $C$ en las integrales indefinidas; es fundamental para aplicar las condiciones iniciales del problema.