Ecuaciones matriciales y sistemas lineales

**a.- (3 puntos) Calcule el valor de $m$ para que la ecuación matricial $X \cdot A = B$ tenga solución única.** Para que la ecuación matricial $X \cdot A = B$ tenga una solución única, la matriz $A$ debe ser invertible. Esto ocurre si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Si $A$ es invertible, podemos despejar $X$ multiplicando por la derecha por $A^{-1}$: $$X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1}$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [m \cdot 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [4 \cdot 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 \cdot m + (-2) \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|A| = [-4m + 0 + 0] - [-8 + 3m + 0]$$ $$|A| = -4m + 8 - 3m = 8 - 7m$$ Para que exista solución única: $$8 - 7m \neq 0 \implies 8 \neq 7m \implies m \neq \frac{8}{7}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales del tipo $X \cdot A = B$, si existe la inversa, la solución es $X = B \cdot A^{-1}$. El orden de la multiplicación es crucial ya que el producto de matrices no es conmutativo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \neq \frac{8}{7}}$$

**b.- (4 puntos) Para $m = 1$, resuelva la ecuación matricial anterior.** Si $m = 1$, el determinante es $|A| = 8 - 7(1) = 1$. Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos $A^{-1}$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^T$. Primero, calculamos los adjuntos de los elementos de $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 3 = -7$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -(0 - 12) = 12$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 8 = -8$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(0 - (-1)) = -1$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -2 - (-4) = 2$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 0) = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 0) = -3$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ La matriz de adjuntos es $Adj(A) = \begin{pmatrix} -7 & 12 & -8 \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{pmatrix}$. Transponemos para obtener la matriz inversa (puesto que $|A|=1$): $$A^{-1} = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la inversa, sigue los pasos: 1) Determinante, 2) Matriz de adjuntos, 3) Traspuesta de la de adjuntos, 4) Dividir por el determinante.

Ahora calculamos $X = B \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 12 & 2 & -3 \\ -8 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: - $c_{11} = 0(-7) + 1(12) + 1(-8) = 4$ - $c_{12} = 0(-1) + 1(2) + 1(-1) = 1$ - $c_{13} = 0(2) + 1(-3) + 1(2) = -1$ - Fila 2: - $c_{21} = 1(-7) + 0(12) + 1(-8) = -15$ - $c_{22} = 1(-1) + 0(2) + 1(-1) = -2$ - $c_{23} = 1(2) + 0(-3) + 1(2) = 4$ - Fila 3: - $c_{31} = 1(-7) + (-1)(12) + 0(-8) = -19$ - $c_{32} = 1(-1) + (-1)(2) + 0(-1) = -3$ - $c_{33} = 1(2) + (-1)(-3) + 0(2) = 5$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ -15 & -2 & 4 \\ -19 & -3 & 5 \end{pmatrix}}$$

**c.- (3 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones: $B \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$** Se trata de un sistema homogéneo. Analizamos el rango de la matriz de coeficientes $B$ calculando su determinante: $$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = [0 + 1 - 1] - [0 + 0 + 0] = 0$$ Como $|B| = 0$, el rango de $B$ es menor que $3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies rg(B) = 2$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $rg(B) = 2 \lt n = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). Usamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos $z$ al otro lado como parámetro ($z = \lambda$): 1) $y + z = 0 \implies y = -\lambda$ 2) $x + z = 0 \implies x = -\lambda$ Verificamos en la tercera ecuación: $x - y = -\lambda - (-\lambda) = 0$, que se cumple siempre. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible. Si el determinante de la matriz es 0, tendrá infinitas soluciones además de la trivial ($0,0,0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = -\lambda \\ y = -\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$