Álgebra 2022 Aragon
Optimización de sucursales: Programación lineal
2.- (10 puntos) Una empresa de transportes valora la apertura de sucursales rurales y/o urbanas. Las sucursales rurales emplean a tres personas, requieren de una inversión de 100.000 euros para su apertura y generan unos ingresos de 15.000 euros al mes. Las sucursales urbanas emplean a 6 personas, requieren de 150.000 euros de inversión y generan un ingreso de 18.000 euros al mes. La empresa de transportes tiene hasta tres millones de euros disponibles para abrir nuevas sucursales, han decidido limitar el número de nuevas sucursales a 25 y se han comprometido a crear como mínimo 60 empleos.
a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita calcular el número de sucursales de cada tipo que deben abrirse para maximizar el ingreso mensual.
b.- (5 puntos) Resuelva el problema anterior y calcule el ingreso mensual máximo que se obtendría.
c.- (2 puntos) En la solución óptima, ¿cuántos empleos generará?, ¿se gasta todo el dinero disponible?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a.- (3 puntos) Plantee un problema de programación lineal que permita calcular el número de sucursales de cada tipo que deben abrirse para maximizar el ingreso mensual.**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de sucursales rurales a abrir.
- $y$: número de sucursales urbanas a abrir.
El objetivo es maximizar los ingresos mensuales totales. Según el enunciado:
- Cada sucursal rural genera $15.000$ €.
- Cada sucursal urbana genera $18.000$ €.
Por tanto, la **función objetivo** a maximizar es:
$$f(x, y) = 15000x + 18000y$$
💡 **Tip:** Recuerda que en este tipo de problemas, las variables suelen representar cantidades físicas, por lo que deben ser valores no negativos ($x, y \ge 0$) y, en este contexto, deberían ser números enteros.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en desigualdades matemáticas:
1. **Inversión disponible:** El coste total no puede superar los $3.000.000$ €.
$$100000x + 150000y \le 3000000$$
Dividiendo toda la expresión por $50.000$ para simplificar:
$$2x + 3y \le 60$$
2. **Límite de sucursales:** El número total de sucursales es como máximo $25$.
$$x + y \le 25$$
3. **Compromiso de empleo:** Se deben crear al menos $60$ empleos.
$$3x + 6y \ge 60$$
Dividiendo por $3$ para simplificar:
$$x + 2y \ge 20$$
4. **No negatividad:** Obviamente, no se pueden abrir sucursales negativas.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
El problema queda planteado como:
$$\text{Maximizar } f(x, y) = 15000x + 18000y$$
$$\text{Sujeto a: } \begin{cases} 2x + 3y \le 60 \\ x + y \le 25 \\ x + 2y \ge 20 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$
Paso 3
Representación de la región factible
**b.- (5 puntos) Resuelva el problema anterior y calcule el ingreso mensual máximo que se obtendría.**
Para resolverlo, representamos las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible:
- $r_1: 2x + 3y = 60$. Pasa por $(0, 20)$ y $(30, 0)$. La región es la parte inferior.
- $r_2: x + y = 25$. Pasa por $(0, 25)$ y $(25, 0)$. La región es la parte inferior.
- $r_3: x + 2y = 20$. Pasa por $(0, 10)$ y $(20, 0)$. La región es la parte superior.
- $x \ge 0, y \ge 0$ limitan la región al primer cuadrante.
La región factible es el polígono sombreado en el interactivo.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Calculamos los vértices del polígono que forma la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones entre las rectas:
- **Vértice A:** Intersección de $r_1$ ($2x+3y=60$) y $r_2$ ($x+y=25$).
$x = 25 - y \Rightarrow 2(25 - y) + 3y = 60 \Rightarrow 50 - 2y + 3y = 60 \Rightarrow y = 10, x = 15$.
**$A(15, 10)$**
- **Vértice B:** Intersección de $r_1$ y el eje $Y$ ($x=0$).
$2(0) + 3y = 60 \Rightarrow y = 20$.
**$B(0, 20)$**
- **Vértice C:** Intersección de $r_3$ ($x+2y=20$) y el eje $Y$ ($x=0$).
$0 + 2y = 20 \Rightarrow y = 10$.
**$C(0, 10)$**
- **Vértice D:** Intersección de $r_3$ ($x+2y=20$) y el eje $X$ ($y=0$).
$x + 0 = 20$.
**$D(20, 0)$**
- **Vértice E:** Intersección de $r_2$ ($x+y=25$) y el eje $X$ ($y=0$).
$x + 0 = 25$.
**$E(25, 0)$**
💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal garantiza que el máximo de la función objetivo se encuentra en uno de los vértices de la región factible.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución
Evaluamos $f(x, y) = 15000x + 18000y$ en cada vértice:
- $f(0, 10) = 15000(0) + 18000(10) = 180.000$ €
- $f(0, 20) = 15000(0) + 18000(20) = 360.000$ €
- $f(15, 10) = 15000(15) + 18000(10) = 225.000 + 180.000 = 405.000$ €
- $f(25, 0) = 15000(25) + 18000(0) = 375.000$ €
- $f(20, 0) = 15000(20) + 18000(0) = 300.000$ €
El valor máximo es de $405.000$ € y se alcanza en el punto $(15, 10)$.
✅ **Resultado (Solución óptima):**
$$\boxed{\text{Se deben abrir 15 sucursales rurales y 10 urbanas para un ingreso de 405.000 €/mes}}$$
Paso 6
Análisis de empleo e inversión
**c.- (2 puntos) En la solución óptima, ¿cuántos empleos generará?, ¿se gasta todo el dinero disponible?**
Utilizamos la solución óptima hallada: $x = 15$ y $y = 10$.
1. **Cálculo de empleos:**
Usamos la expresión de la restricción de empleos:
$$\text{Empleos} = 3x + 6y = 3(15) + 6(10) = 45 + 60 = 105$$
Se generarán **105 empleos**.
2. **Cálculo de la inversión:**
Usamos la expresión de la inversión total:
$$\text{Inversión} = 100000(15) + 150000(10) = 1.500.000 + 1.500.000 = 3.000.000 \text{ €}$$
Dado que el presupuesto máximo era de $3.000.000$ €, comprobamos que se gasta exactamente todo el dinero disponible.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se generarán 105 empleos y se gastará todo el presupuesto (3.000.000 €)}}$$