Optimización de costes y beneficios en una empresa

**a.- (3 puntos) Calcule la función coste marginal ($C_m(q) = C'(q)$). ¿A partir de qué unidad el coste marginal aumenta al aumentar la producción?** El coste marginal se define como la derivada de la función de coste total. Derivamos $C(q) = 300q - 10q^2 + \dfrac{q^3}{3}$: $$C_m(q) = C'(q) = \frac{d}{dq}\left(300q - 10q^2 + \frac{1}{3}q^3\right)$$ $$C_m(q) = 300 - 20q + 3\cdot\frac{1}{3}q^2 = 300 - 20q + q^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $\frac{d}{dq}(q^n) = n \cdot q^{n-1}$. ✅ **Resultado (Coste marginal):** $$\boxed{C_m(q) = q^2 - 20q + 300}$$

Para saber cuándo el coste marginal aumenta, debemos estudiar el crecimiento de $C_m(q)$. Para ello, calculamos su derivada $C_m'(q)$ y buscamos dónde es positiva: $$C_m'(q) = 2q - 20$$ Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: $$2q - 20 = 0 \implies 2q = 20 \implies q = 10$$ Analizamos el signo de $C_m'(q)$: $$ \begin{array}{c|ccc} q & (0, 10) & 10 & (10, +\infty) \\ \hline C_m'(q) & - & 0 & + \end{array} $$ Como $C_m'(q) \gt 0$ para $q \gt 10$, el coste marginal aumenta a partir de la unidad 10. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Aumenta a partir de } q = 10 \text{ unidades.}}$$

**b.- (3 puntos) Determine el nivel de producción para el que se minimiza el coste medio $CM(q) = \frac{C(q)}{q}$.** Primero obtenemos la expresión de la función de coste medio dividiendo $C(q)$ por $q$: $$CM(q) = \frac{300q - 10q^2 + \frac{q^3}{3}}{q} = 300 - 10q + \frac{q^2}{3}$$ Para minimizar esta función, calculamos su derivada $CM'(q)$ e igualamos a cero: $$CM'(q) = -10 + \frac{2}{3}q$$ $$-10 + \frac{2}{3}q = 0 \implies \frac{2}{3}q = 10 \implies 2q = 30 \implies q = 15$$ 💡 **Tip:** Un mínimo relativo ocurre donde la primera derivada es cero y la segunda es positiva.

Calculamos la segunda derivada para asegurar que se trata de un mínimo: $$CM''(q) = \frac{2}{3}$$ Como $CM''(15) = \frac{2}{3} \gt 0$, confirmamos que hay un mínimo en $q = 15$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El coste medio se minimiza para } q = 15 \text{ unidades.}}$$

**c.- (4 puntos) Si el precio de venta unitario, en euros, del artículo en el mercado es $P(q) = 240 - 2q$. Determine para qué nivel de producción se maximiza el beneficio (ingresos menos costes).** El beneficio $B(q)$ es la diferencia entre los ingresos totales $I(q)$ y los costes totales $C(q)$. 1. Hallamos el ingreso: $I(q) = P(q) \cdot q = (240 - 2q) \cdot q = 240q - 2q^2$. 2. Hallamos el beneficio: $B(q) = I(q) - C(q)$ $$B(q) = (240q - 2q^2) - \left(300q - 10q^2 + \frac{q^3}{3}\right)$$ $$B(q) = 240q - 2q^2 - 300q + 10q^2 - \frac{q^3}{3}$$ $$B(q) = -\frac{1}{3}q^3 + 8q^2 - 60q$$ 💡 **Tip:** El beneficio se maximiza cuando el ingreso marginal es igual al coste marginal ($B'(q)=0$).

Derivamos $B(q)$ para encontrar los puntos críticos: $$B'(q) = -q^2 + 16q - 60$$ Igualamos a cero: $$-q^2 + 16q - 60 = 0 \implies q^2 - 16q + 60 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$q = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $q_1 = 10$ y $q_2 = 6$. Verificamos cuál es el máximo usando la segunda derivada $B''(q) = -2q + 16$: - Para $q = 6$: $B''(6) = -2(6) + 16 = 4 \gt 0$ (Mínimo). - Para $q = 10$: $B''(10) = -2(10) + 16 = -4 \lt 0$ (Máximo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio se maximiza para } q = 10 \text{ unidades.}}$$