Estudio de continuidad, derivabilidad y extremos absolutos en una función a trozos

**a.- (3 puntos) Determine el valor de los parámetros para que $f(x)$ sea continua.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo en los puntos de salto entre las ramas: $x = 0$ y $x = 3$. Estudiamos primero el punto **$x = 0$**. Para que sea continua, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos cada valor: 1. Límite por la izquierda y valor en el punto (rama 1): $$f(0) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2\sqrt{3}) = 0^2 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ 2. Límite por la derecha (rama 2): $$\lim_{x \to 0^+} \sqrt{ax + b} = \sqrt{a(0) + b} = \sqrt{b}$$ Igualamos ambos resultados para garantizar la continuidad: $$\sqrt{b} = 2\sqrt{3}$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para despejar $b$: $$b = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$ $$\boxed{b = 12}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x = c$, el límite debe existir (límites laterales iguales) y coincidir con el valor de la función en ese punto.

Estudiamos ahora el punto **$x = 3$**. Debe cumplirse: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$$ Utilizamos ya el valor hallado $b = 12$: 1. Límite por la izquierda y valor en el punto (rama 2): $$f(3) = \lim_{x \to 3^-} \sqrt{ax + 12} = \sqrt{3a + 12}$$ 2. Límite por la derecha (rama 3): $$\lim_{x \to 3^+} \left( \frac{7}{2} - \frac{x}{6} \right) = \frac{7}{2} - \frac{3}{6} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Igualamos los resultados: $$\sqrt{3a + 12} = 3$$ Elevamos al cuadrado: $$3a + 12 = 3^2 \implies 3a + 12 = 9$$ $$3a = 9 - 12 \implies 3a = -3 \implies a = -1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -1, \quad b = 12}$$ Con estos valores, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\sqrt{3} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{-x + 12} & \text{si } 0 < x \le 3 \\ \frac{7}{2} - \frac{x}{6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

**b.- (4 puntos) Para dichos valores, analice si $f(x)$ es derivable en $x = 0$ y en $x = 3$.** Primero, calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x < 0 \\ \frac{-1}{2\sqrt{-x + 12}} & \text{si } 0 < x < 3 \\ -\frac{1}{6} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\sqrt{u}$, usamos la regla $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Aquí $u = -x + 12$, por lo que $u' = -1$. Analizamos la derivabilidad en **$x = 0$** comparando las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = 2(0) = 0$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = \frac{-1}{2\sqrt{-0 + 12}} = \frac{-1}{2\sqrt{12}} = \frac{-1}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = -\frac{1}{4\sqrt{3}}$. Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$** (hay un punto anguloso). ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{No derivable en } x = 0}$$

Analizamos la derivabilidad en **$x = 3$**: - Derivada por la izquierda: $f'(3^-) = \frac{-1}{2\sqrt{-3 + 12}} = \frac{-1}{2\sqrt{9}} = \frac{-1}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6}$. - Derivada por la derecha: $f'(3^+) = -\frac{1}{6}$. Como $f'(3^-) = f'(3^+)$, y sabiendo que la función ya era continua en ese punto, concluimos que la función **es derivable en $x = 3$**. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\text{No es derivable en } x=0, \text{ sí es derivable en } x=3}$$

**c.- (3 puntos) Calcule el valor máximo y mínimo de $f(x)$ si $x \in [6, 9]$ y las coordenadas de los puntos donde se alcanzan dichos valores.** En el intervalo $[6, 9]$, la función viene definida por la tercera rama: $$f(x) = \frac{7}{2} - \frac{x}{6}$$ Esta es una función lineal (una recta) con pendiente negativa $m = -1/6$. Al ser una recta decreciente, los valores máximo y mínimo se alcanzarán necesariamente en los extremos del intervalo dado. 1. **En $x = 6$:** $$f(6) = \frac{7}{2} - \frac{6}{6} = 3.5 - 1 = 2.5 = \frac{5}{2}$$ El punto es $P_{max}\left(6, \frac{5}{2}\right)$. 2. **En $x = 9$:** $$f(9) = \frac{7}{2} - \frac{9}{6} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ El punto es $P_{min}(9, 2)$. Como la función es estrictamente decreciente en todo el intervalo, estos son el máximo y el mínimo absolutos en dicho tramo. ✅ **Resultado (Coordenadas):** $$\boxed{\text{Máximo: } (6, 2.5); \quad \text{Mínimo: } (9, 2)}$$