Probabilidad de compra de ropa e Inferencia sobre el uso de mascarillas

Para resolver el apartado **a**, lo primero es definir los sucesos y organizar la información dada: - $N$: El encuestado compra ropa nueva. - $U$: El encuestado compra ropa de segunda mano (usada). Los datos que nos da el enunciado son: - El 90% compra ropa (nueva o usada): $P(N \cup U) = 0.90$. - El 15% compra de ambos tipos: $P(N \cap U) = 0.15$. - El 60% no compra de segunda mano: $P(\bar{U}) = 0.60$. De estos datos podemos deducir inmediatamente: - Probabilidad de comprar de segunda mano: $P(U) = 1 - P(\bar{U}) = 1 - 0.60 = 0.40$. - Probabilidad de no comprar ningún tipo de ropa: $P(\bar{N} \cap \bar{U}) = 1 - P(N \cup U) = 1 - 0.90 = 0.10$. Podemos completar una **tabla de contingencia** para visualizar mejor todas las probabilidades: $$\begin{array}{c|cc|c} & U & \bar{U} & \text{Total} \\ \hline N & 0.15 & ? & ? \\ \bar{N} & ? & 0.10 & ? \\ \hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array}$$ Completamos restando: - $P(N \cap \bar{U}) = P(\text{Total } \bar{U}) - P(\bar{N} \cap \bar{U}) = 0.60 - 0.10 = 0.50$. - $P(N) = P(N \cap U) + P(N \cap \bar{U}) = 0.15 + 0.50 = 0.65$. 💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla de doble entrada ayuda a ver las relaciones entre sucesos de forma mucho más clara que usando solo fórmulas algebraicas.

**a.1 (3 puntos) Calcule la probabilidad de que compre ropa nueva y no de segunda mano.** Nos piden la probabilidad del suceso "comprar ropa nueva ($N$) Y NO comprar ropa de segunda mano ($\bar{U}$)", es decir, $P(N \cap \bar{U})$. Utilizando la propiedad de la resta de probabilidades: $$P(N \cap \bar{U}) = P(N \cup U) - P(U)$$ O bien, utilizando la definición de la unión: $$P(N \cup U) = P(N) + P(U) - P(N \cap U) \implies 0.90 = P(N) + 0.40 - 0.15 \implies P(N) = 0.65$$ Entonces: $$P(N \cap \bar{U}) = P(N) - P(N \cap U) = 0.65 - 0.15 = 0.50$$ Mirando nuestra tabla del paso anterior, este valor ya lo habíamos obtenido directamente en la celda correspondiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N \cap \bar{U}) = 0.50}$$

**a.2 (3 puntos) Si dice que no compra ropa de segunda mano ¿cuál es la probabilidad de que tampoco compre ropa nueva?** Se trata de una probabilidad condicionada. Sabemos que el encuestado no compra de segunda mano ($\bar{U}$), y queremos saber la probabilidad de que no compre ropa nueva ($\bar{N}$). Buscamos $P(\bar{N} | \bar{U})$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(\bar{N} | \bar{U}) = \frac{P(\bar{N} \cap \bar{U})}{P(\bar{U})}$$ Sustituimos los valores que ya conocemos: - $P(\bar{N} \cap \bar{U}) = 0.10$ (es la probabilidad de que no compre nada). - $P(\bar{U}) = 0.60$ (dato del enunciado). $$P(\bar{N} | \bar{U}) = \frac{0.10}{0.60} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En este caso, el enunciado nos da la condición después del "si dice que...". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{N} | \bar{U}) = \frac{1}{6} \approx 0.1667}$$

**b.- (4 puntos) En una encuesta realizada a 64 jóvenes 8 se mostraron contrarios a llevar mascarillas en el interior de recintos de ocio. Calcule un intervalo de confianza al 97% para determinar la proporción de jóvenes que son contrarios al uso de mascarilla...** Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 64$ - Número de éxitos (favorables a la condición): $x = 8$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8} = 0.125$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: La probabilidad acumulada es $1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$. Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor de $z$ para el cual $P(Z \le z) = 0.985$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Si no encuentras el valor exacto en la tabla, toma el más cercano o realiza una interpolación lineal.

La fórmula del error máximo admisible para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.125 \cdot (1 - 0.125)}{64}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.125 \cdot 0.875}{64}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.0017089} \approx 2.17 \cdot 0.04134 \approx 0.0897$$ El intervalo de confianza es $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.125 - 0.0897, \; 0.125 + 0.0897) = (0.0353, \; 0.2147)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{IC_{0.97} = [0.0353, \; 0.2147]}$$

**...el alcalde de la ciudad considera que si existe un 25% de jóvenes adversos al uso de mascarilla se requiere aplicar algún tipo de medida de concienciación. A la vista del intervalo calculado ¿se debería implantar alguna medida de concienciación?** El alcalde propone actuar si la proporción de jóvenes contrarios es del $25\%$, es decir, si $p = 0.25$. Observamos nuestro intervalo de confianza calculado al 97%: $[0.0353, \; 0.2147]$. Como se puede apreciar, el valor **$0.25$ queda fuera del intervalo** (es superior al límite superior $0.2147$). Esto significa que, con una confianza del 97%, la verdadera proporción de jóvenes contrarios es inferior al 25%. Por tanto, basándonos en los datos estadísticos, no se cumple la condición del alcalde. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No se debería implantar ninguna medida, ya que el } 25\% \text{ no está contenido en el intervalo.}}$$