Distribución normal de medias muestrales e inferencia estadística

**a.- (4 puntos) Si la media de la prueba selectiva es de 65 puntos y la desviación típica 8. Calcule la probabilidad de que la nota media de 25 estudiantes elegidos al azar sea mayor a 63 puntos.** Primero definimos la variable aleatoria poblacional $X$ como la calificación obtenida, que sigue una distribución normal: $X \sim N(65, 8)$. Cuando trabajamos con una muestra de tamaño $n=25$, la **media muestral** $\bar{X}$ también sigue una distribución normal, pero con una desviación típica menor (el error estándar): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Sustituimos los valores: $$\mu = 65, \quad \sigma = 8, \quad n = 25$$ $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1.6$$ Por tanto, la distribución de la media de los 25 estudiantes es: $$\bar{X} \sim N(65, 1.6)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que aunque la población sea normal, para trabajar con medias de grupos (muestras) debes dividir la desviación típica original por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra $\sqrt{n}$.

Queremos calcular la probabilidad de que la media sea mayor a 63, es decir, $P(\bar{X} \gt 63)$. Para ello, tipificamos la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$: $$P(\bar{X} \gt 63) = P\left(Z \gt \frac{63 - 65}{1.6}\right) = P\left(Z \gt \frac{-2}{1.6}\right) = P(Z \gt -1.25)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \gt -1.25) = P(Z \lt 1.25)$$ Buscamos el valor $1.25$ en la tabla de la normal $N(0, 1)$: $$P(Z \lt 1.25) = 0.8944$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \gt 63) = 0.8944}$$ 💡 **Tip:** Al ser una distribución simétrica, $P(Z \gt -a)$ es exactamente igual a $P(Z \lt a)$.

**b.- (3 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la nota media de ingreso en DADE, con un nivel de confianza del 92%, sabiendo que ingresan 100 estudiantes, que la nota media de acceso es de 80 puntos y que la desviación típica es 8,8 puntos.** Datos proporcionados: - Tamaño de muestra: $n = 100$ - Media muestral: $\bar{x} = 80$ - Desviación típica: $\sigma = 8.8$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.92$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.92$, entonces $\alpha = 0.08$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.04$. 3. Buscamos el valor de $z$ que deja a su izquierda una probabilidad de $1 - \alpha/2 = 0.96$. Buscando en la tabla de la normal el valor más cercano a $0.96$, encontramos que para $z = 1.75$ la probabilidad es $0.9599$. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.75}$$

El error máximo admisible se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 1.75 \cdot \frac{8.8}{\sqrt{100}} = 1.75 \cdot \frac{8.8}{10} = 1.75 \cdot 0.88 = 1.54$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (80 - 1.54, 80 + 1.54) = (78.46, 81.54)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{92\%} = (78.46, 81.54)}$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la estructura: $\text{estimador} \pm \text{error}$. Cuanto mayor es el nivel de confianza deseado, más ancho será el intervalo.

**c.- (3 puntos) Determine el tamaño de la muestra necesario para que el error máximo del intervalo de confianza calculado en el apartado anterior se reduzca a la mitad (con los datos del apartado b.-).** El error del apartado anterior era $E = 1.54$. El nuevo error objetivo es: $$E_{nuevo} = \frac{1.54}{2} = 0.77$$ Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejada de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores: $$\sqrt{n} = \frac{1.75 \cdot 8.8}{0.77} = \frac{15.4}{0.77} = 20$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n = 20^2 = 400$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 400\text{ estudiantes}}$$ 💡 **Tip:** Fíjate en la relación cuadrática: para reducir el error a la mitad (dividir por 2), el tamaño de la muestra debe multiplicarse por $2^2 = 4$. Como la muestra inicial era $100$, la nueva es $100 \cdot 4 = 400$.