Sistema de ecuaciones: El chiringuito de Fabiola

**A. [1,25 PUNTOS] Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio (sin descuento) de un helado, un granizado y una horchata.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan los precios unitarios originales (sin descuento): - $x$: precio de un helado (€) - $y$: precio de un granizado (€) - $z$: precio de una horchata (€) Analizamos la información del enunciado para obtener las ecuaciones: 1. **La compra inicial:** Fabiola compra 3 helados, 2 granizados y 2 horchatas, pero el ticket marca 20 € porque le han cobrado 1 helado y 1 horchata de más. Esto significa que el cobro total de 20 € corresponde a 4 helados ($3+1$), 2 granizados y 3 horchatas ($2+1$). $$4x + 2y + 3z = 20$$ 2. **El error:** Le devuelven 5 € por el helado y la horchata cobrados de más. $$x + z = 5$$ 3. **La promoción:** Un helado y un granizado cuestan 2 € con un 50 % de descuento. Esto implica que el precio original de ambos sumados es el doble. $$0,5(x + y) = 2 \implies x + y = 4$$ 💡 **Tip:** En problemas de sistemas, lee con atención si las cantidades mencionadas son las finales o si el total incluye errores de cobro.

Reuniendo las tres ecuaciones obtenidas, el sistema de ecuaciones lineales es: $$\begin{cases} 4x + 2y + 3z = 20 \\ x + z = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}$$ ✅ **Resultado del planteamiento:** $$\boxed{\begin{cases} 4x + 2y + 3z = 20 \\ x + z = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}}$$

**B. [1,25 PUNTOS] Resuélvalo.** Dado que las dos últimas ecuaciones son muy sencillas, utilizaremos el método de sustitución para resolver el sistema de forma eficiente. De la segunda ecuación despejamos $z$ en función de $x$: $$x + z = 5 \implies z = 5 - x$$ De la tercera ecuación despejamos $y$ en función de $x$: $$x + y = 4 \implies y = 4 - x$$ Ahora, sustituimos ambas expresiones en la primera ecuación: $$4x + 2(4 - x) + 3(5 - x) = 20$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando tenemos ecuaciones con pocas variables, como en este caso.

Resolvemos la ecuación de primer grado para hallar el valor de $x$: $$4x + 8 - 2x + 15 - 3x = 20$$ Agrupamos los términos con $x$ y los términos independientes: $$(4 - 2 - 3)x + (8 + 15) = 20$$ $$-x + 23 = 20$$ $$-x = 20 - 23$$ $$-x = -3 \implies x = 3$$ Por lo tanto, el precio de un helado es **3 €**. $$\boxed{x = 3}$$

Una vez conocido $x = 3$, calculamos los valores de $y$ y $z$ sustituyendo en las expresiones despejadas anteriormente: Para el granizado ($y$): $$y = 4 - x = 4 - 3 = 1$$ Para la horchata ($z$): $$z = 5 - x = 5 - 3 = 2$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados en la ecuación que no hemos usado para despejar (la primera) para asegurar que no hay errores de cálculo: $4(3) + 2(1) + 3(2) = 12 + 2 + 6 = 20$. ¡Es correcto!

Concluimos con los precios de cada artículo sin el descuento aplicado: - Precio de un helado: **3 €** - Precio de un granizado: **1 €** - Precio de una horchata: **2 €** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Helado: } 3\text{ €, Granizado: } 1\text{ €, Horchata: } 2\text{ €}}$$