Optimización de explotación bovina mediante Programación Lineal

**A. [0,75 PUNTOS] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.** Primero, definimos las variables de decisión: - $x$: número de vacas de raza parda. - $y$: número de vacas de raza frisona. **Función objetivo:** El beneficio neto total $B(x, y)$ se obtiene multiplicando el beneficio por vaca por el número de vacas de cada raza: $$B(x, y) = 350x + 500y$$ **Restricciones:** 1. **Total de vacas:** Como máximo comprará 160: $x + y \le 160$. 2. **Límite de pardas:** No comprará más de 50: $x \le 50$. 3. **Límite de frisonas:** Al menos comprará 70: $y \ge 70$. 4. **Relación entre razas:** Las pardas ($x$) deben ser al menos una tercera parte de las frisonas ($y$): $x \ge \dfrac{y}{3} \implies 3x \ge y$ (o $y \le 3x$). 5. **No negatividad:** Como son cantidades físicas, $x \ge 0, y \ge 0$ (aunque ya están implícitas en las anteriores). 💡 **Tip:** Recuerda que "al menos" significa $\ge$ y "como máximo" significa $\le$. ✅ **Resultado (Sistema):** $$\boxed{\begin{cases} x + y \le 160 \\ x \le 50 \\ y \ge 70 \\ y \le 3x \\ x, y \ge 0 \end{cases}}$$

**B. [1 PUNTO] Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.** Para representar la región, dibujamos las rectas asociadas a las inecuaciones: 1. $r_1: x + y = 160 \implies$ pasa por $(0, 160)$ y $(160, 0)$. 2. $r_2: x = 50 \implies$ recta vertical. 3. $r_3: y = 70 \implies$ recta horizontal. 4. $r_4: y = 3x \implies$ pasa por $(0, 0)$ y $(30, 90)$. La región factible es el polígono que cumple todas las condiciones simultáneamente. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir, toma un punto de prueba como el $(30, 80)$ y comprueba si cumple las restricciones.

Calculamos los puntos de intersección de las fronteras: - **Vértice A ($r_3 \cap r_4$):** $\begin{cases} y = 70 \\ y = 3x \end{cases} \implies 70 = 3x \implies x = \dfrac{70}{3} \approx 23.33 \implies A\left(\frac{70}{3}, 70\right)$ - **Vértice B ($r_4 \cap r_1$):** $\begin{cases} y = 3x \\ x + y = 160 \end{cases} \implies x + 3x = 160 \implies 4x = 160 \implies x = 40, y = 120 \implies B(40, 120)$ - **Vértice C ($r_1 \cap r_2$):** $\begin{cases} x + y = 160 \\ x = 50 \end{cases} \implies 50 + y = 160 \implies y = 110 \implies C(50, 110)$ - **Vértice D ($r_2 \cap r_3$):** $\begin{cases} x = 50 \\ y = 70 \end{cases} \implies D(50, 70)$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A\left(\frac{70}{3}, 70\right), \ B(40, 120), \ C(50, 110), \ D(50, 70)}$$

**C. [0,5 PUNTOS] ¿Cuántas vacas de cada tipo debe comprar para obtener el máximo beneficio?** Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 350x + 500y$ en cada uno de los vértices: - $B(A) = 350\left(\frac{70}{3}\right) + 500(70) \approx 8166.67 + 35000 = 43166.67 \ €$ - $B(B) = 350(40) + 500(120) = 14000 + 60000 = 74000 \ €$ - $B(C) = 350(50) + 500(110) = 17500 + 55000 = 72500 \ €$ - $B(D) = 350(50) + 500(70) = 17500 + 35000 = 52500 \ €$ Comparando los valores, el beneficio máximo se encuentra en el punto $B(40, 120)$. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el óptimo se encuentra siempre en un vértice o en un segmento de la frontera. ✅ **Resultado (Cantidades):** $$\boxed{\text{Debe comprar 40 vacas pardas y 120 vacas frisonas}}$$

**D. [0,25 PUNTOS] ¿A cuánto asciende dicho beneficio?** Tras calcular el valor de la función objetivo en el apartado anterior, hemos determinado que para $x=40$ e $y=120$ el beneficio es: $$B(40, 120) = 350 \cdot 40 + 500 \cdot 120$$ $$B(40, 120) = 14000 + 60000 = 74000 \ €$$ ✅ **Resultado (Beneficio):** $$\boxed{\text{El beneficio máximo asciende a 74.000 €}}$$