Estudio de funciones cuadráticas, representación y cálculo de áreas

**A. [0,5 PUNTOS] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones.** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento), calculamos la primera derivada de cada función y estudiamos su signo. Para $f(x) = -x^2 - 2x + 8$: $$f'(x) = -2x - 2$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$-2x - 2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x = -1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por $x = -1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x) \gt 0$, la función crece. Si $f'(x) \lt 0$, la función decrece. ✅ **Resultado para $f(x)$:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \quad \text{Decrecimiento: } (-1, +\infty)}$$

Para $g(x) = 2x^2 - 2x - 4$: $$g'(x) = 4x - 2$$ Buscamos los puntos críticos: $$4x - 2 = 0 \implies 4x = 2 \implies x = \frac{2}{4} = 0,5$$ Analizamos el signo de $g'(x)$ en los intervalos determinados por $x = 0,5$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0,5) & 0,5 & (0,5, +\infty)\\\hline g'(x) & - & 0 & +\\\hline g(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado para $g(x)$:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (0,5, +\infty) \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, 0,5)}$$

**B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones?** Dado que ambas funciones son parábolas, sus extremos relativos son también sus extremos absolutos. **Para $f(x)$:** En $x = -1$ hay un máximo. Calculamos su ordenada: $$f(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$$ Como es una parábola con ramas hacia abajo ($a \lt 0$), el máximo es absoluto. **Para $g(x)$:** En $x = 0,5$ hay un mínimo. Calculamos su ordenada: $$g(0,5) = 2(0,5)^2 - 2(0,5) - 4 = 2(0,25) - 1 - 4 = 0,5 - 5 = -4,5$$ Como es una parábola con ramas hacia arriba ($a \gt 0$), el mínimo es absoluto. ✅ **Extremos:** $$\boxed{\begin{aligned} & f(x): \text{Máximo absoluto en } (-1, 9) \\ & g(x): \text{Mínimo absoluto en } (0,5, -4,5) \end{aligned}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$.** **Puntos de corte con ejes:** - **Para $f(x)$:** - Eje OY ($x=0$): $f(0) = 8 \implies (0, 8)$. - Eje OX ($y=0$): $-x^2 - 2x + 8 = 0 \implies x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{-2} = \frac{2 \pm 6}{-2} \implies x_1 = -4, x_2 = 2$. Puntos: $(-4, 0)$ y $(2, 0)$. - **Para $g(x)$:** - Eje OY ($x=0$): $g(0) = -4 \implies (0, -4)$. - Eje OX ($y=0$): $2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \implies x_1 = -1, x_2 = 2$. Puntos: $(-1, 0)$ y $(2, 0)$. **Puntos de corte entre $f$ y $g$:** Igualamos las funciones: $$-x^2 - 2x + 8 = 2x^2 - 2x - 4$$ $$3x^2 - 12 = 0 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ - Si $x = 2$, $y = f(2) = 0$. Punto: $(2, 0)$. - Si $x = -2$, $y = f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) + 8 = -4 + 4 + 8 = 8$. Punto: $(-2, 8)$. ✅ **Puntos de corte entre funciones:** $$\boxed{(-2, 8) \text{ y } (2, 0)}$$

**D. [1 PUNTO] Calcule el área de la región que queda encerrada entre las funciones $f$ y $g$.** El área viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo de sus puntos de corte $x \in [-2, 2]$. Observando la gráfica o evaluando un punto intermedio (como $x=0$, donde $f(0)=8$ y $g(0)=-4$), vemos que $f(x) \ge g(x)$ en este intervalo. $$A = \int_{-2}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-2}^{2} [(-x^2 - 2x + 8) - (2x^2 - 2x - 4)] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{2} (-3x^2 + 12) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-3x^2 + 12) \, dx = -3 \frac{x^3}{3} + 12x = -x^3 + 12x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -x^3 + 12x \right]_{-2}^{2}$$ $$A = (-2^3 + 12 \cdot 2) - (-(-2)^3 + 12 \cdot (-2))$$ $$A = (-8 + 24) - (8 - 24)$$ $$A = (16) - (-16) = 16 + 16 = 32$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser positiva. Si el resultado es negativo, probablemente has restado las funciones en el orden inverso. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 32 \text{ unidades cuadradas}}$$