Optimización del precio del oro

**A. [1 PUNTO] ¿Qué día del mes habría que vender el oro para obtener la máxima ganancia? ¿A cuánto ascendería dicha ganancia si se vendiesen 4 kg de oro?** Para encontrar los máximos y mínimos de la función de precio $P(d)$, primero debemos calcular su derivada $P'(d)$ e igualarla a cero. La derivada nos indica la pendiente de la función; cuando es cero, estamos ante un posible extremo relativo. Derivamos la función $P(d) = \frac{1}{3}d^3 - 15d^2 + 144d + 1500$: $$P'(d) = \frac{1}{3} \cdot 3d^2 - 15 \cdot 2d + 144 = d^2 - 30d + 144$$ Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$d^2 - 30d + 144 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$d = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144}}{2 \cdot 1} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 576}}{2} = \frac{30 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{30 \pm 18}{2}$$ Obtenemos dos valores: 1. $d_1 = \frac{30 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24$ 2. $d_2 = \frac{30 - 18}{2} = \frac{12}{2} = 6$ 💡 **Tip:** Recuerda que para optimizar una función en un intervalo cerrado $[a, b]$, debemos comprobar tanto los puntos donde la derivada es cero como los extremos del intervalo ($d=1$ y $d=31$).

Para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos, analizamos el signo de $P'(d)$ en los intervalos definidos por las raíces $d=6$ y $d=24$ dentro del dominio $[1, 31]$. $$\begin{array}{c|ccccc} d & [1, 6) & 6 & (6, 24) & 24 & (24, 31] \\\hline P'(d) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline \text{Evolución} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) & \text{Mínimo} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ - En el intervalo $(1, 6)$, si tomamos $d=2$, $P'(2) = 2^2 - 30(2) + 144 = 88 > 0$. - En el intervalo $(6, 24)$, si tomamos $d=10$, $P'(10) = 100 - 300 + 144 = -56 < 0$. - En el intervalo $(24, 31)$, si tomamos $d=25$, $P'(25) = 625 - 750 + 144 = 19 > 0$. Esto nos indica que hay un **máximo relativo en $d=6$** y un **mínimo relativo en $d=24$**.

Evaluamos el precio $P(d)$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para encontrar el máximo absoluto: - Para $d=1$: $P(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 15(1)^2 + 144(1) + 1500 = 0.33 - 15 + 144 + 1500 = 1629.33$ €/kg - Para $d=6$: $P(6) = \frac{1}{3}(216) - 15(36) + 144(6) + 1500 = 72 - 540 + 864 + 1500 = 1896$ €/kg - Para $d=31$: $P(31) = \frac{1}{3}(29791) - 15(961) + 144(31) + 1500 \approx 9930.33 - 14415 + 4464 + 1500 = 1479.33$ €/kg El precio máximo por kilo es de $1896$ € el día **6**. Si se venden 4 kg, la ganancia total será: $4 \text{ kg} \cdot 1896 \text{ €/kg} = 7584$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Día 6. Ganancia: 7584 €}}$$

**B. [1 PUNTO] ¿Qué día del mes es el peor para vender oro? ¿Cuál sería la ganancia si se vendiesen 4 kg de oro ese día?** Basándonos en el análisis anterior, el peor día corresponde al mínimo absoluto del precio en el intervalo $[1, 31]$. Según la tabla de monotonía, el mínimo se encuentra en $d=24$ o en uno de los extremos. Comparando los valores: - $P(1) = 1629.33$ €/kg - $P(24) = \frac{1}{3}(24)^3 - 15(24)^2 + 144(24) + 1500 = 4608 - 8640 + 3456 + 1500 = 924$ €/kg - $P(31) = 1479.33$ €/kg El precio mínimo ocurre el día **24**. Si se venden 4 kg, la ganancia ese día será: $4 \text{ kg} \cdot 924 \text{ €/kg} = 3696$ €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Día 24. Ganancia: 3696 €}}$$

**C. [0,5 PUNTOS] Si se viese obligado a vender 1 kg de oro entre los días 20 y 31 del mes y quisiera obtener la máxima ganancia, ¿en qué día lo haría? ¿Cuánto ganaría con la venta?** Debemos analizar la función $P(d)$ en el intervalo cerrado $[20, 31]$. En este intervalo, tenemos el punto crítico $d=24$ (que sabemos que es un mínimo relativo). Evaluamos los valores en los extremos del nuevo intervalo y el punto crítico interno: - $P(20) = \frac{1}{3}(20)^3 - 15(20)^2 + 144(20) + 1500 = 2666.67 - 6000 + 2880 + 1500 = 1046.67$ €/kg - $P(24) = 924$ €/kg (mínimo) - $P(31) \approx 1479.33$ €/kg Comparando los valores en este intervalo específico, el precio más alto se alcanza el día **31**. Al vender 1 kg, la ganancia será simplemente el precio de ese día. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Día 31. Ganancia: 1479.33 €}}$$ 💡 **Tip:** En intervalos restringidos, la función puede comportarse de forma distinta al intervalo global; por eso es vital recalcular los valores de los extremos del nuevo subintervalo.