Intervalo de confianza y tamaño muestral en distribución normal

**A. [1,25 PUNTOS] Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el valor promedio del porcentaje de alcohol por botella.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable $X$, que representa el porcentaje de alcohol por botella: - La población sigue una distribución normal: $N(\mu, \sigma)$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0,53\, \%$. - Tamaño de la muestra: $n = 120$. - Media muestral: $\bar{x} = 12,05\, \%$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con $\sigma$ conocida se calcula como: $$\left(\bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza.

Para un nivel de confianza del $95\, \%$, calculamos $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0,95 \implies \alpha = 0,05$. 2. $\alpha/2 = 0,025$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2 = 1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, encontramos que el valor que corresponde a una probabilidad de $0,975$ es: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para los niveles de confianza más habituales ($90\,\%$, $95\,\%$, $99\,\%$), los valores críticos suelen ser $1,645$, $1,96$ y $2,575$ respectivamente.

Calculamos primero el error máximo admisible $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $$E = 1,96 \cdot \frac{0,53}{\sqrt{120}} = 1,96 \cdot \frac{0,53}{10,9545} \approx 1,96 \cdot 0,04838 \approx 0,0948$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (12,05 - 0,0948, \, 12,05 + 0,0948)$$ $$IC = (11,9552, \, 12,1448)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (11,9552\, \%, \, 12,1448\, \%)}$$

**B. [1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de botellas que habría que considerar para que el error cometido al estimar el valor medio del porcentaje de alcohol por botella, con un nivel de confianza del 97,5 %, fuese de 0,1 %?** En este apartado, los datos cambian: - Error máximo permitido: $E = 0,1\, \%$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,975$. - Desviación típica: $\sigma = 0,53\, \%$. - Debemos hallar el tamaño muestral $n$. La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$

Calculamos $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $97,5\, \%$: 1. $1 - \alpha = 0,975 \implies \alpha = 0,025$. 2. $\alpha/2 = 0,0125$. 3. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,0125 = 0,9875$. Mirando en las tablas de la normal $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 2,24$$

Sustituimos los valores en la fórmula despejada de $n$: $$n = \left( \frac{2,24 \cdot 0,53}{0,1} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{1,1872}{0,1} \right)^2 = (11,872)^2$$ $$n \approx 140,94$$ Como el número de botellas debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** de $0,1\,\%$, debemos redondear siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor o igual al pedido. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo, siempre se redondea hacia arriba para cumplir la restricción del error. ✅ **Resultado (Número mínimo de botellas):** $$\boxed{n = 141 \text{ botellas}}$$