Probabilidad: Compra de leche y galletas de soja

**A. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen animal y galletas de soja?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El cliente compra leche de origen animal. - $V$: El cliente compra leche de origen vegetal. - $N$: El cliente no compra leche de ningún tipo. - $S$: El cliente compra galletas de soja. - $\bar{S}$: El cliente no compra galletas de soja. Organizamos los datos proporcionados en un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la probabilidad de un camino se halla multiplicando las probabilidades de sus ramas. La suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Para calcular la probabilidad de que un cliente compre leche animal ($A$) y galletas de soja ($S$), multiplicamos la probabilidad de elegir leche animal por la probabilidad de comprar galletas de soja dado que compra esa leche: $$P(A \cap S) = P(A) \cdot P(S|A)$$ Sustituimos los valores del enunciado: $$P(A \cap S) = 0.65 \cdot 0.20 = 0.13$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cap S) = 0.13}$$

**B. [0,5 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal y no compre galletas de soja?** Buscamos $P(V \cap \bar{S})$. Según los datos: - $P(V) = 0.25$ - $P(S|V) = 0.70 \implies P(\bar{S}|V) = 1 - 0.70 = 0.30$ Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la intersección: $$P(V \cap \bar{S}) = P(V) \cdot P(\bar{S}|V)$$ $$P(V \cap \bar{S}) = 0.25 \cdot 0.30 = 0.075$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(\bar{S}|V)$ es el suceso contrario a $S$ bajo la misma condición $V$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V \cap \bar{S}) = 0.075}$$

**C. [0,75 PUNTOS] ¿Cuál es la probabilidad de que compre galletas de soja?** Para hallar la probabilidad total de comprar galletas de soja $P(S)$, debemos sumar las probabilidades de todas las situaciones en las que se compran galletas (teorema de la probabilidad total): $$P(S) = P(A \cap S) + P(V \cap S) + P(N \cap S)$$ $$P(S) = P(A)P(S|A) + P(V)P(S|V) + P(N)P(S|N)$$ Calculamos cada término: - $P(A \cap S) = 0.65 \cdot 0.20 = 0.13$ - $P(V \cap S) = 0.25 \cdot 0.70 = 0.175$ - $P(N \cap S) = 0.10 \cdot 0.10 = 0.01$ Sumamos los resultados: $$P(S) = 0.13 + 0.175 + 0.01 = 0.315$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.315}$$

**D. [0,75 PUNTOS] Si no compra galletas de soja, ¿cuál es la probabilidad de que compre leche de origen vegetal?** Se nos pide la probabilidad de $V$ condicionado a que ha ocurrido $\bar{S}$, es decir, $P(V | \bar{S})$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(V | \bar{S}) = \frac{P(V \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}$$ Primero, calculamos $P(\bar{S})$ usando el suceso contrario de $P(S)$ calculado en el apartado anterior: $$P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.315 = 0.685$$ Ya conocemos $P(V \cap \bar{S})$ del apartado B ($0.075$): $$P(V | \bar{S}) = \frac{0.075}{0.685} \approx 0.109489$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(V | \bar{S}) \approx 0.1095$$ 💡 **Tip:** Cuando te piden la probabilidad de una causa (leche vegetal) sabiendo el efecto (no comprar galletas), se utiliza el Teorema de Bayes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V | \bar{S}) \approx 0.1095}$$